Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86144 / 28800
↖ ↑ ↗
← N 70.495574°
E 56.601563°		 ← 101.95 m → N 70.495574°
E 56.604309°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
N 70.494656°
E 56.601563°		 ← 101.96 m →
10 400 m²		 N 70.494656°
E 56.604309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657230377197266 y=0.219730377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657230377197266 × 217)
    floor (0.657230377197266 × 131072)
    floor (86144.5)     		tx = 86144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219730377197266 × 217)
    floor (0.219730377197266 × 131072)
    floor (28800.5)     		ty = 28800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86144 / 28800 ti = "17/86144/28800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86144/28800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86144 ÷ 217
    86144 ÷ 131072     		x = 0.6572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28800 ÷ 217
    28800 ÷ 131072     		y = 0.2197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6572265625 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98788363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2197265625 × 2 - 1) × π
    0.560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76100994444238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98788363} λ = 0.98788363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76100994444238))-π/2
    2×atan(5.81831059855149)-π/2
    2×1.40058809657457-π/2
    2.80117619314914-1.57079632675     		φ = 1.23037987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98788363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.601563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23037987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.495574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86144 KachelY 28800 0.98788363 1.23037987 56.601563 70.495574
    Oben rechts KachelX + 1 86145 KachelY 28800 0.98793156 1.23037987 56.604309 70.495574
    Unten links KachelX 86144 KachelY + 1 28801 0.98788363 1.23036386 56.601563 70.494656
    Unten rechts KachelX + 1 86145 KachelY + 1 28801 0.98793156 1.23036386 56.604309 70.494656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23037987-1.23036386) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dl = 101.999709999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23037987-1.23036386) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dr = 101.999709999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98788363-0.98793156) × cos(1.23037987) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333879679796468 × 6371000     		do = 101.954176798462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98788363-0.98793156) × cos(1.23036386) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333894771031048 × 6371000     		du = 101.958785088488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23037987)-sin(1.23036386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333879679796468-0.333894771031048)×R²
    abs(0.98793156-0.98788363)×1.50912345792675e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50912345792675e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50912345792675e-05×40589641000000     		ar = 10399.5314890043m²