Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86146 / 20610
↖ ↑ ↗
← N 76.759283°
E 56.607056°		 ← 69.96 m → N 76.759283°
E 56.609802°		 →
↑
69.95 m
↓
↑
69.95 m
↓
N 76.758654°
E 56.607056°		 ← 69.96 m →
4 894 m²		 N 76.758654°
E 56.609802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657245635986328 y=0.157245635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657245635986328 × 217)
    floor (0.657245635986328 × 131072)
    floor (86146.5)     		tx = 86146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157245635986328 × 217)
    floor (0.157245635986328 × 131072)
    floor (20610.5)     		ty = 20610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86146 / 20610 ti = "17/86146/20610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86146/20610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86146 ÷ 217
    86146 ÷ 131072     		x = 0.657241821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20610 ÷ 217
    20610 ÷ 131072     		y = 0.157241821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.657241821289062 × 2 - 1) × π
    0.314483642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98797950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157241821289062 × 2 - 1) × π
    0.685516357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15361315233064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98797950} λ = 0.98797950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15361315233064))-π/2
    2×atan(8.61593290295926)-π/2
    2×1.45524927331297-π/2
    2.91049854662595-1.57079632675     		φ = 1.33970222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98797950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.607056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33970222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.759283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86146 KachelY 20610 0.98797950 1.33970222 56.607056 76.759283
    Oben rechts KachelX + 1 86147 KachelY 20610 0.98802744 1.33970222 56.609802 76.759283
    Unten links KachelX 86146 KachelY + 1 20611 0.98797950 1.33969124 56.607056 76.758654
    Unten rechts KachelX + 1 86147 KachelY + 1 20611 0.98802744 1.33969124 56.609802 76.758654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33970222-1.33969124) × R
    1.09799999998828e-05 × 6371000     		dl = 69.953579999253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33970222-1.33969124) × R
    1.09799999998828e-05 × 6371000     		dr = 69.953579999253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98797950-0.98802744) × cos(1.33970222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.229042681888911 × 6371000     		do = 69.9555306074593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98797950-0.98802744) × cos(1.33969124) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.229053369986962 × 6371000     		du = 69.9587950277158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33970222)-sin(1.33969124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229042681888911-0.229053369986962)×R²
    abs(0.98802744-0.98797950)×1.06880980511037e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06880980511037e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06880980511037e-05×40589641000000     		ar = 4893.75398581128m²