Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86148 / 20612
↖ ↑ ↗
← N 76.758025°
E 56.612549°		 ← 69.96 m → N 76.758025°
E 56.615295°		 →
↑
69.95 m
↓
↑
69.95 m
↓
N 76.757396°
E 56.612549°		 ← 69.97 m →
4 894 m²		 N 76.757396°
E 56.615295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657260894775391 y=0.157260894775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657260894775391 × 217)
    floor (0.657260894775391 × 131072)
    floor (86148.5)     		tx = 86148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157260894775391 × 217)
    floor (0.157260894775391 × 131072)
    floor (20612.5)     		ty = 20612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86148 / 20612 ti = "17/86148/20612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86148/20612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86148 ÷ 217
    86148 ÷ 131072     		x = 0.657257080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20612 ÷ 217
    20612 ÷ 131072     		y = 0.157257080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.657257080078125 × 2 - 1) × π
    0.31451416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98807537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157257080078125 × 2 - 1) × π
    0.68548583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1535172785314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98807537} λ = 0.98807537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1535172785314))-π/2
    2×atan(8.61510690033449)-π/2
    2×1.45523829320456-π/2
    2.91047658640913-1.57079632675     		φ = 1.33968026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98807537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.612549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33968026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.758025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86148 KachelY 20612 0.98807537 1.33968026 56.612549 76.758025
    Oben rechts KachelX + 1 86149 KachelY 20612 0.98812331 1.33968026 56.615295 76.758025
    Unten links KachelX 86148 KachelY + 1 20613 0.98807537 1.33966928 56.612549 76.757396
    Unten rechts KachelX + 1 86149 KachelY + 1 20613 0.98812331 1.33966928 56.615295 76.757396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33968026-1.33966928) × R
    1.09799999998828e-05 × 6371000     		dl = 69.953579999253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33968026-1.33966928) × R
    1.09799999998828e-05 × 6371000     		dr = 69.953579999253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98807537-0.98812331) × cos(1.33968026) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.229064058057398 × 6371000     		do = 69.962059439538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98807537-0.98812331) × cos(1.33966928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.229074746100219 × 6371000     		du = 69.9653238429255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33968026)-sin(1.33966928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229064058057398-0.229074746100219)×R²
    abs(0.98812331-0.98807537)×1.06880428202838e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06880428202838e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06880428202838e-05×40589641000000     		ar = 4894.21070040308m²