Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86208 / 20544
↖ ↑ ↗
← N 76.800739°
E 56.777344°		 ← 69.74 m → N 76.800739°
E 56.780091°		 →
↑
69.76 m
↓
↑
69.76 m
↓
N 76.800111°
E 56.777344°		 ← 69.74 m →
4 865 m²		 N 76.800111°
E 56.780091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657718658447266 y=0.156742095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657718658447266 × 217)
    floor (0.657718658447266 × 131072)
    floor (86208.5)     		tx = 86208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156742095947266 × 217)
    floor (0.156742095947266 × 131072)
    floor (20544.5)     		ty = 20544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86208 / 20544 ti = "17/86208/20544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86208/20544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86208 ÷ 217
    86208 ÷ 131072     		x = 0.65771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20544 ÷ 217
    20544 ÷ 131072     		y = 0.15673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65771484375 × 2 - 1) × π
    0.3154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.99095159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15673828125 × 2 - 1) × π
    0.6865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15677698770557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99095159} λ = 0.99095159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15677698770557))-π/2
    2×atan(8.64323546389512)-π/2
    2×1.45561104258962-π/2
    2.91122208517924-1.57079632675     		φ = 1.34042576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99095159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34042576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.800739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86208 KachelY 20544 0.99095159 1.34042576 56.777344 76.800739
    Oben rechts KachelX + 1 86209 KachelY 20544 0.99099953 1.34042576 56.780091 76.800739
    Unten links KachelX 86208 KachelY + 1 20545 0.99095159 1.34041481 56.777344 76.800111
    Unten rechts KachelX + 1 86209 KachelY + 1 20545 0.99099953 1.34041481 56.780091 76.800111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34042576-1.34041481) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dl = 69.7624500004146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34042576-1.34041481) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dr = 69.7624500004146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99095159-0.99099953) × cos(1.34042576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228338316309318 × 6371000     		do = 69.7403992290819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99095159-0.99099953) × cos(1.34041481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228348977016856 × 6371000     		du = 69.7436552835706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34042576)-sin(1.34041481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228338316309318-0.228348977016856)×R²
    abs(0.99099953-0.99095159)×1.06607075381349e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06607075381349e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06607075381349e-05×40589641000000     		ar = 4865.37468951237m²