Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86288 / 20752
↖ ↑ ↗
← N 76.669656°
E 56.997070°		 ← 70.42 m → N 76.669656°
E 56.999817°		 →
↑
70.40 m
↓
↑
70.40 m
↓
N 76.669023°
E 56.997070°		 ← 70.42 m →
4 958 m²		 N 76.669023°
E 56.999817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658329010009766 y=0.158329010009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658329010009766 × 217)
    floor (0.658329010009766 × 131072)
    floor (86288.5)     		tx = 86288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158329010009766 × 217)
    floor (0.158329010009766 × 131072)
    floor (20752.5)     		ty = 20752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86288 / 20752 ti = "17/86288/20752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86288/20752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86288 ÷ 217
    86288 ÷ 131072     		x = 0.6583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20752 ÷ 217
    20752 ÷ 131072     		y = 0.1583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6583251953125 × 2 - 1) × π
    0.316650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.99478654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1583251953125 × 2 - 1) × π
    0.683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14680611258459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99478654} λ = 0.99478654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14680611258459))-π/2
    2×atan(8.55748306611392)-π/2
    2×1.4544671339112-π/2
    2.90893426782239-1.57079632675     		φ = 1.33813794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99478654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33813794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.669656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86288 KachelY 20752 0.99478654 1.33813794 56.997070 76.669656
    Oben rechts KachelX + 1 86289 KachelY 20752 0.99483448 1.33813794 56.999817 76.669656
    Unten links KachelX 86288 KachelY + 1 20753 0.99478654 1.33812689 56.997070 76.669023
    Unten rechts KachelX + 1 86289 KachelY + 1 20753 0.99483448 1.33812689 56.999817 76.669023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33813794-1.33812689) × R
    1.10499999999014e-05 × 6371000     		dl = 70.3995499993719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33813794-1.33812689) × R
    1.10499999999014e-05 × 6371000     		dr = 70.3995499993719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99478654-0.99483448) × cos(1.33813794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23056509681319 × 6371000     		do = 70.4205153122941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99478654-0.99483448) × cos(1.33812689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23057584907789 × 6371000     		du = 70.4237993306967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33813794)-sin(1.33812689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23056509681319-0.23057584907789)×R²
    abs(0.99483448-0.99478654)×1.07522646995983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07522646995983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07522646995983e-05×40589641000000     		ar = 4957.68818535709m²