Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86336 / 20800
↖ ↑ ↗
← N 76.639225°
E 57.128906°		 ← 70.58 m → N 76.639225°
E 57.131653°		 →
↑
70.53 m
↓
↑
70.53 m
↓
N 76.638591°
E 57.128906°		 ← 70.58 m →
4 978 m²		 N 76.638591°
E 57.131653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658695220947266 y=0.158695220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658695220947266 × 217)
    floor (0.658695220947266 × 131072)
    floor (86336.5)     		tx = 86336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158695220947266 × 217)
    floor (0.158695220947266 × 131072)
    floor (20800.5)     		ty = 20800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86336 / 20800 ti = "17/86336/20800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86336/20800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86336 ÷ 217
    86336 ÷ 131072     		x = 0.65869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20800 ÷ 217
    20800 ÷ 131072     		y = 0.15869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65869140625 × 2 - 1) × π
    0.3173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.99708751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15869140625 × 2 - 1) × π
    0.6826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14450514140283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99708751} λ = 0.99708751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14450514140283))-π/2
    2×atan(8.53781518048697)-π/2
    2×1.45420157492402-π/2
    2.90840314984804-1.57079632675     		φ = 1.33760682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99708751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.128906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33760682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.639225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86336 KachelY 20800 0.99708751 1.33760682 57.128906 76.639225
    Oben rechts KachelX + 1 86337 KachelY 20800 0.99713545 1.33760682 57.131653 76.639225
    Unten links KachelX 86336 KachelY + 1 20801 0.99708751 1.33759575 57.128906 76.638591
    Unten rechts KachelX + 1 86337 KachelY + 1 20801 0.99713545 1.33759575 57.131653 76.638591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33760682-1.33759575) × R
    1.10700000000019e-05 × 6371000     		dl = 70.5269700000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33760682-1.33759575) × R
    1.10700000000019e-05 × 6371000     		dr = 70.5269700000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99708751-0.99713545) × cos(1.33760682) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.231081874251245 × 6371000     		do = 70.5783524438906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99708751-0.99713545) × cos(1.33759575) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.231092644619874 × 6371000     		du = 70.5816419916991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33760682)-sin(1.33759575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231081874251245-0.231092644619874)×R²
    abs(0.99713545-0.99708751)×1.07703686287319e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.07703686287319e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.07703686287319e-05×40589641000000     		ar = 4977.79334637584m²