Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 864 / 1248
↖ ↑ ↗
← S 36.597889°
W 28.125000°		 ← 15.692 km → S 36.597889°
W 27.949219°		 →
↑
15.678 km
↓
↑
15.678 km
↓
S 36.738884°
W 28.125000°		 ← 15.664 km →
245.798 km²		 S 36.738884°
W 27.949219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422119140625 y=0.609619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422119140625 × 211)
    floor (0.422119140625 × 2048)
    floor (864.5)     		tx = 864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.609619140625 × 211)
    floor (0.609619140625 × 2048)
    floor (1248.5)     		ty = 1248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 864 / 1248 ti = "11/864/1248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/864/1248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 864 ÷ 211
    864 ÷ 2048     		x = 0.421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1248 ÷ 211
    1248 ÷ 2048     		y = 0.609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421875 × 2 - 1) × π
    -0.15625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.609375 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Φ = -0.687223392953125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49087385} λ = -0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.687223392953125))-π/2
    2×atan(0.502970683966761)-π/2
    2×0.466021331079369-π/2
    0.932042662158738-1.57079632675     		φ = -0.63875366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63875366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.597889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 864 KachelY 1248 -0.49087385 -0.63875366 -28.125000 -36.597889
    Oben rechts KachelX + 1 865 KachelY 1248 -0.48780589 -0.63875366 -27.949219 -36.597889
    Unten links KachelX 864 KachelY + 1 1249 -0.49087385 -0.64121449 -28.125000 -36.738884
    Unten rechts KachelX + 1 865 KachelY + 1 1249 -0.48780589 -0.64121449 -27.949219 -36.738884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63875366--0.64121449) × R
    0.00246082999999997 × 6371000     		dl = 15677.9479299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63875366--0.64121449) × R
    0.00246082999999997 × 6371000     		dr = 15677.9479299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49087385--0.48780589) × cos(-0.63875366) × R
    0.00306795999999998 × 0.802839443284969 × 6371000     		do = 15692.2782102372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49087385--0.48780589) × cos(-0.64121449) × R
    0.00306795999999998 × 0.801369878631093 × 6371000     		du = 15663.5541389557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63875366)-sin(-0.64121449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802839443284969-0.801369878631093)×R²
    abs(-0.48780589--0.49087385)×0.00146956465387638×R²
    0.00306795999999998×0.00146956465387638×6371000²
    0.00306795999999998×0.00146956465387638×40589641000000     		ar = 245797677.475668m²