Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86528 / 20993
↖ ↑ ↗
← N 76.516179°
E 57.656250°		 ← 71.20 m → N 76.516179°
E 57.658996°		 →
↑
71.23 m
↓
↑
71.23 m
↓
N 76.515538°
E 57.656250°		 ← 71.20 m →
5 072 m²		 N 76.515538°
E 57.658996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660160064697266 y=0.160167694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660160064697266 × 217)
    floor (0.660160064697266 × 131072)
    floor (86528.5)     		tx = 86528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160167694091797 × 217)
    floor (0.160167694091797 × 131072)
    floor (20993.5)     		ty = 20993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86528 / 20993 ti = "17/86528/20993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86528/20993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86528 ÷ 217
    86528 ÷ 131072     		x = 0.66015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20993 ÷ 217
    20993 ÷ 131072     		y = 0.160163879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66015625 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160163879394531 × 2 - 1) × π
    0.679672241210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.13525331977616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00629140} λ = 1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13525331977616))-π/2
    2×atan(8.45918911536075)-π/2
    2×1.45312778605765-π/2
    2.90625557211531-1.57079632675     		φ = 1.33545925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33545925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.516179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86528 KachelY 20993 1.00629140 1.33545925 57.656250 76.516179
    Oben rechts KachelX + 1 86529 KachelY 20993 1.00633933 1.33545925 57.658996 76.516179
    Unten links KachelX 86528 KachelY + 1 20994 1.00629140 1.33544807 57.656250 76.515538
    Unten rechts KachelX + 1 86529 KachelY + 1 20994 1.00633933 1.33544807 57.658996 76.515538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33545925-1.33544807) × R
    1.11799999999995e-05 × 6371000     		dl = 71.227779999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33545925-1.33544807) × R
    1.11799999999995e-05 × 6371000     		dr = 71.227779999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00629140-1.00633933) × cos(1.33545925) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.233170784295477 × 6371000     		do = 71.2015040292027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00629140-1.00633933) × cos(1.33544807) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23318165611315 × 6371000     		du = 71.2048238695171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33545925)-sin(1.33544807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233170784295477-0.23318165611315)×R²
    abs(1.00633933-1.00629140)×1.0871817672814e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0871817672814e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0871817672814e-05×40589641000000     		ar = 5071.64329705516m²