Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 86532 / 20996
↖ ↑ ↗
← N 76.514257°
E 57.667236°		 ← 71.23 m → N 76.514257°
E 57.669983°		 →
↑
71.23 m
↓
↑
71.23 m
↓
N 76.513616°
E 57.667236°		 ← 71.23 m →
5 073 m²		 N 76.513616°
E 57.669983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660190582275391 y=0.160190582275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660190582275391 × 217)
    floor (0.660190582275391 × 131072)
    floor (86532.5)     		tx = 86532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160190582275391 × 217)
    floor (0.160190582275391 × 131072)
    floor (20996.5)     		ty = 20996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86532 / 20996 ti = "17/86532/20996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86532/20996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86532 ÷ 217
    86532 ÷ 131072     		x = 0.660186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20996 ÷ 217
    20996 ÷ 131072     		y = 0.160186767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.660186767578125 × 2 - 1) × π
    0.32037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.00648314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160186767578125 × 2 - 1) × π
    0.67962646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1351095090773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00648314} λ = 1.00648314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1351095090773))-π/2
    2×atan(8.45797268093252)-π/2
    2×1.4531110186582-π/2
    2.90622203731641-1.57079632675     		φ = 1.33542571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00648314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.667236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33542571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.514257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86532 KachelY 20996 1.00648314 1.33542571 57.667236 76.514257
    Oben rechts KachelX + 1 86533 KachelY 20996 1.00653108 1.33542571 57.669983 76.514257
    Unten links KachelX 86532 KachelY + 1 20997 1.00648314 1.33541453 57.667236 76.513616
    Unten rechts KachelX + 1 86533 KachelY + 1 20997 1.00653108 1.33541453 57.669983 76.513616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33542571-1.33541453) × R
    1.11799999999995e-05 × 6371000     		dl = 71.227779999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33542571-1.33541453) × R
    1.11799999999995e-05 × 6371000     		dr = 71.227779999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00648314-1.00653108) × cos(1.33542571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.233203399661057 × 6371000     		do = 71.2263209119473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00648314-1.00653108) × cos(1.33541453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.233214271391288 × 6371000     		du = 71.2296414181982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33542571)-sin(1.33541453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233203399661057-0.233214271391288)×R²
    abs(1.00653108-1.00648314)×1.08717302309269e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08717302309269e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08717302309269e-05×40589641000000     		ar = 5073.41097227579m²