Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86536 / 21000
↖ ↑ ↗
← N 76.511695°
E 57.678223°		 ← 71.24 m → N 76.511695°
E 57.680969°		 →
↑
71.23 m
↓
↑
71.23 m
↓
N 76.511054°
E 57.678223°		 ← 71.24 m →
5 074 m²		 N 76.511054°
E 57.680969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660221099853516 y=0.160221099853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660221099853516 × 217)
    floor (0.660221099853516 × 131072)
    floor (86536.5)     		tx = 86536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160221099853516 × 217)
    floor (0.160221099853516 × 131072)
    floor (21000.5)     		ty = 21000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86536 / 21000 ti = "17/86536/21000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86536/21000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86536 ÷ 217
    86536 ÷ 131072     		x = 0.66021728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21000 ÷ 217
    21000 ÷ 131072     		y = 0.16021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66021728515625 × 2 - 1) × π
    0.3204345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00667489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16021728515625 × 2 - 1) × π
    0.6795654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13491776147882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00667489} λ = 1.00667489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13491776147882))-π/2
    2×atan(8.45635104046074)-π/2
    2×1.45308865847776-π/2
    2.90617731695551-1.57079632675     		φ = 1.33538099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00667489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.678223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33538099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.511695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86536 KachelY 21000 1.00667489 1.33538099 57.678223 76.511695
    Oben rechts KachelX + 1 86537 KachelY 21000 1.00672283 1.33538099 57.680969 76.511695
    Unten links KachelX 86536 KachelY + 1 21001 1.00667489 1.33536981 57.678223 76.511054
    Unten rechts KachelX + 1 86537 KachelY + 1 21001 1.00672283 1.33536981 57.680969 76.511054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33538099-1.33536981) × R
    1.11799999999995e-05 × 6371000     		dl = 71.227779999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33538099-1.33536981) × R
    1.11799999999995e-05 × 6371000     		dr = 71.227779999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00667489-1.00672283) × cos(1.33538099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.233246886407075 × 6371000     		do = 71.2396028835301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00667489-1.00672283) × cos(1.33536981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.233257758020698 × 6371000     		du = 71.2429233541658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33538099)-sin(1.33536981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233246886407075-0.233257758020698)×R²
    abs(1.00672283-1.00667489)×1.08716136227038e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08716136227038e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08716136227038e-05×40589641000000     		ar = 5074.35701643074m²