Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 86560 / 21024
↖ ↑ ↗
← N 76.496311°
E 57.744141°		 ← 71.30 m → N 76.496311°
E 57.746887°		 →
↑
71.29 m
↓
↑
71.29 m
↓
N 76.495670°
E 57.744141°		 ← 71.31 m →
5 084 m²		 N 76.495670°
E 57.746887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660404205322266 y=0.160404205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660404205322266 × 217)
    floor (0.660404205322266 × 131072)
    floor (86560.5)     		tx = 86560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160404205322266 × 217)
    floor (0.160404205322266 × 131072)
    floor (21024.5)     		ty = 21024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86560 / 21024 ti = "17/86560/21024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86560/21024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86560 ÷ 217
    86560 ÷ 131072     		x = 0.660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21024 ÷ 217
    21024 ÷ 131072     		y = 0.160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.660400390625 × 2 - 1) × π
    0.32080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00782538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160400390625 × 2 - 1) × π
    0.67919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13376727588794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00782538} λ = 1.00782538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13376727588794))-π/2
    2×atan(8.44662772477705)-π/2
    2×1.45295440980698-π/2
    2.90590881961397-1.57079632675     		φ = 1.33511249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00782538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.744141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33511249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.496311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86560 KachelY 21024 1.00782538 1.33511249 57.744141 76.496311
    Oben rechts KachelX + 1 86561 KachelY 21024 1.00787331 1.33511249 57.746887 76.496311
    Unten links KachelX 86560 KachelY + 1 21025 1.00782538 1.33510130 57.744141 76.495670
    Unten rechts KachelX + 1 86561 KachelY + 1 21025 1.00787331 1.33510130 57.746887 76.495670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33511249-1.33510130) × R
    1.11899999999387e-05 × 6371000     		dl = 71.2914899996098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33511249-1.33510130) × R
    1.11899999999387e-05 × 6371000     		dr = 71.2914899996098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00782538-1.00787331) × cos(1.33511249) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.23350797210825 × 6371000     		do = 71.3044683838719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00782538-1.00787331) × cos(1.33510130) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.23351885274482 × 6371000     		du = 71.3077909171426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33511249)-sin(1.33510130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23350797210825-0.23351885274482)×R²
    abs(1.00787331-1.00782538)×1.08806365697323e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.08806365697323e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.08806365697323e-05×40589641000000     		ar = 5083.52022897925m²