Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 866 / 1378
↖ ↑ ↗
← S 52.696361°
W 27.773438°		 ← 11.846 km → S 52.696361°
W 27.597656°		 →
↑
11.831 km
↓
↑
11.831 km
↓
S 52.802761°
W 27.773438°		 ← 11.817 km →
139.977 km²		 S 52.802761°
W 27.597656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423095703125 y=0.673095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423095703125 × 211)
    floor (0.423095703125 × 2048)
    floor (866.5)     		tx = 866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673095703125 × 211)
    floor (0.673095703125 × 2048)
    floor (1378.5)     		ty = 1378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 866 / 1378 ti = "11/866/1378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/866/1378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 866 ÷ 211
    866 ÷ 2048     		x = 0.4228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1378 ÷ 211
    1378 ÷ 2048     		y = 0.6728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4228515625 × 2 - 1) × π
    -0.154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48473793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6728515625 × 2 - 1) × π
    -0.345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08605839779199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48473793} λ = -0.48473793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08605839779199))-π/2
    2×atan(0.337544340583644)-π/2
    2×0.325535661089015-π/2
    0.65107132217803-1.57079632675     		φ = -0.91972500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48473793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.773438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91972500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.696361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 866 KachelY 1378 -0.48473793 -0.91972500 -27.773438 -52.696361
    Oben rechts KachelX + 1 867 KachelY 1378 -0.48166997 -0.91972500 -27.597656 -52.696361
    Unten links KachelX 866 KachelY + 1 1379 -0.48473793 -0.92158204 -27.773438 -52.802761
    Unten rechts KachelX + 1 867 KachelY + 1 1379 -0.48166997 -0.92158204 -27.597656 -52.802761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91972500--0.92158204) × R
    0.00185703999999998 × 6371000     		dl = 11831.2018399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91972500--0.92158204) × R
    0.00185703999999998 × 6371000     		dr = 11831.2018399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48473793--0.48166997) × cos(-0.91972500) × R
    0.00306795999999998 × 0.606038924178641 × 6371000     		do = 11845.6205459109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48473793--0.48166997) × cos(-0.92158204) × R
    0.00306795999999998 × 0.604560725443044 × 6371000     		du = 11816.7277130998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91972500)-sin(-0.92158204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606038924178641-0.604560725443044)×R²
    abs(-0.48166997--0.48473793)×0.00147819873559629×R²
    0.00306795999999998×0.00147819873559629×6371000²
    0.00306795999999998×0.00147819873559629×40589641000000     		ar = 139977049.357405m²