Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 86784 / 20224
↖ ↑ ↗
← N 76.999935°
E 58.359375°		 ← 68.71 m → N 76.999935°
E 58.362122°		 →
↑
68.68 m
↓
↑
68.68 m
↓
N 76.999317°
E 58.359375°		 ← 68.71 m →
4 719 m²		 N 76.999317°
E 58.362122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 86784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.662113189697266 y=0.154300689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.662113189697266 × 217)
    floor (0.662113189697266 × 131072)
    floor (86784.5)     		tx = 86784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154300689697266 × 217)
    floor (0.154300689697266 × 131072)
    floor (20224.5)     		ty = 20224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 86784 / 20224 ti = "17/86784/20224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/86784/20224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 86784 ÷ 217
    86784 ÷ 131072     		x = 0.662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20224 ÷ 217
    20224 ÷ 131072     		y = 0.154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.662109375 × 2 - 1) × π
    0.32421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.01856324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154296875 × 2 - 1) × π
    0.69140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17211679558398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.01856324} λ = 1.01856324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17211679558398))-π/2
    2×atan(8.77684317373692)-π/2
    2×1.45734935920703-π/2
    2.91469871841407-1.57079632675     		φ = 1.34390239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.01856324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 58.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34390239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.999935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 86784 KachelY 20224 1.01856324 1.34390239 58.359375 76.999935
    Oben rechts KachelX + 1 86785 KachelY 20224 1.01861118 1.34390239 58.362122 76.999935
    Unten links KachelX 86784 KachelY + 1 20225 1.01856324 1.34389161 58.359375 76.999317
    Unten rechts KachelX + 1 86785 KachelY + 1 20225 1.01861118 1.34389161 58.362122 76.999317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34390239-1.34389161) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dl = 68.6793799999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34390239-1.34389161) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dr = 68.6793799999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.01856324-1.01861118) × cos(1.34390239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224952159314094 × 6371000     		do = 68.7061797230601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.01856324-1.01861118) × cos(1.34389161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224962663007572 × 6371000     		du = 68.7093878214132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34390239)-sin(1.34389161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224952159314094-0.224962663007572)×R²
    abs(1.01861118-1.01856324)×1.05036934774927e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05036934774927e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05036934774927e-05×40589641000000     		ar = 4718.80799065881m²