Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 868 / 1252
↖ ↑ ↗
← S 37.160316°
W 27.421875°		 ← 15.577 km → S 37.160316°
W 27.246094°		 →
↑
15.563 km
↓
↑
15.563 km
↓
S 37.300276°
W 27.421875°		 ← 15.548 km →
242.199 km²		 S 37.300276°
W 27.246094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424072265625 y=0.611572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424072265625 × 211)
    floor (0.424072265625 × 2048)
    floor (868.5)     		tx = 868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.611572265625 × 211)
    floor (0.611572265625 × 2048)
    floor (1252.5)     		ty = 1252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 868 / 1252 ti = "11/868/1252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/868/1252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 868 ÷ 211
    868 ÷ 2048     		x = 0.423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1252 ÷ 211
    1252 ÷ 2048     		y = 0.611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423828125 × 2 - 1) × π
    -0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611328125 × 2 - 1) × π
    -0.22265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.699495239255859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47860201} λ = -0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.699495239255859))-π/2
    2×atan(0.496836023830374)-π/2
    2×0.461113225993472-π/2
    0.922226451986944-1.57079632675     		φ = -0.64856987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64856987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.160316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 868 KachelY 1252 -0.47860201 -0.64856987 -27.421875 -37.160316
    Oben rechts KachelX + 1 869 KachelY 1252 -0.47553404 -0.64856987 -27.246094 -37.160316
    Unten links KachelX 868 KachelY + 1 1253 -0.47860201 -0.65101262 -27.421875 -37.300276
    Unten rechts KachelX + 1 869 KachelY + 1 1253 -0.47553404 -0.65101262 -27.246094 -37.300276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64856987--0.65101262) × R
    0.00244275000000005 × 6371000     		dl = 15562.7602500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64856987--0.65101262) × R
    0.00244275000000005 × 6371000     		dr = 15562.7602500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47860201--0.47553404) × cos(-0.64856987) × R
    0.00306797000000003 × 0.796948479384723 × 6371000     		do = 15577.1843615444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47860201--0.47553404) × cos(-0.65101262) × R
    0.00306797000000003 × 0.795470566643775 × 6371000     		du = 15548.2970246192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64856987)-sin(-0.65101262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796948479384723-0.795470566643775)×R²
    abs(-0.47553404--0.47860201)×0.00147791274094755×R²
    0.00306797000000003×0.00147791274094755×6371000²
    0.00306797000000003×0.00147791274094755×40589641000000     		ar = 242199322.673545m²