Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 87 / 153
↖ ↑ ↗
← S 33.137551°
W 57.656250°		 ← 130.936 km → S 33.137551°
W 56.250000°		 →
↑
130.053 km
↓
↑
130.053 km
↓
S 34.307144°
W 57.656250°		 ← 129.164 km →
16 914 km²		 S 34.307144°
W 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 87 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.341796875 y=0.599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.341796875 × 28)
    floor (0.341796875 × 256)
    floor (87.5)     		tx = 87
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599609375 × 28)
    floor (0.599609375 × 256)
    floor (153.5)     		ty = 153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 87 / 153 ti = "8/87/153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/87/153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 87 ÷ 28
    87 ÷ 256     		x = 0.33984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 153 ÷ 28
    153 ÷ 256     		y = 0.59765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33984375 × 2 - 1) × π
    -0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59765625 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00629140} λ = -1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613592315136719))-π/2
    2×atan(0.541402483226244)-π/2
    2×0.496218476227484-π/2
    0.992436952454969-1.57079632675     		φ = -0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 87 KachelY 153 -1.00629140 -0.57835937 -57.656250 -33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 88 KachelY 153 -0.98174770 -0.57835937 -56.250000 -33.137551
    Unten links KachelX 87 KachelY + 1 154 -1.00629140 -0.59877262 -57.656250 -34.307144
    Unten rechts KachelX + 1 88 KachelY + 1 154 -0.98174770 -0.59877262 -56.250000 -34.307144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57835937--0.59877262) × R
    0.0204132499999999 × 6371000     		dl = 130052.81575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57835937--0.59877262) × R
    0.0204132499999999 × 6371000     		dr = 130052.81575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00629140--0.98174770) × cos(-0.57835937) × R
    0.0245437000000001 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 130936.333621952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00629140--0.98174770) × cos(-0.59877262) × R
    0.0245437000000001 × 0.826028023946516 × 6371000     		du = 129164.277936223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57835937)-sin(-0.59877262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.826028023946516)×R²
    abs(-0.98174770--1.00629140)×0.0113326043376234×R²
    0.0245437000000001×0.0113326043376234×6371000²
    0.0245437000000001×0.0113326043376234×40589641000000     		ar = 16913995799.3951m²