Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 87040 / 13312
↖ ↑ ↗
← N 80.647035°
E 59.062500°		 ← 49.64 m → N 80.647035°
E 59.065247°		 →
↑
49.63 m
↓
↑
49.63 m
↓
N 80.646589°
E 59.062500°		 ← 49.64 m →
2 464 m²		 N 80.646589°
E 59.065247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 87040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664066314697266 y=0.101566314697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664066314697266 × 217)
    floor (0.664066314697266 × 131072)
    floor (87040.5)     		tx = 87040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101566314697266 × 217)
    floor (0.101566314697266 × 131072)
    floor (13312.5)     		ty = 13312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 87040 / 13312 ti = "17/87040/13312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/87040/13312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 87040 ÷ 217
    87040 ÷ 131072     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13312 ÷ 217
    13312 ÷ 131072     		y = 0.1015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1015625 × 2 - 1) × π
    0.796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50345664575781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50345664575781))-π/2
    2×atan(12.2246773913586)-π/2
    2×1.4891763075478-π/2
    2.9783526150956-1.57079632675     		φ = 1.40755629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40755629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.647035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 87040 KachelY 13312 1.03083509 1.40755629 59.062500 80.647035
    Oben rechts KachelX + 1 87041 KachelY 13312 1.03088303 1.40755629 59.065247 80.647035
    Unten links KachelX 87040 KachelY + 1 13313 1.03083509 1.40754850 59.062500 80.646589
    Unten rechts KachelX + 1 87041 KachelY + 1 13313 1.03088303 1.40754850 59.065247 80.646589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40755629-1.40754850) × R
    7.789999999952e-06 × 6371000     		dl = 49.6300899996942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40755629-1.40754850) × R
    7.789999999952e-06 × 6371000     		dr = 49.6300899996942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.03088303) × cos(1.40755629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162516017493157 × 6371000     		do = 49.6365749046679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.03088303) × cos(1.40754850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16252370392723 × 6371000     		du = 49.6389225394827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40755629)-sin(1.40754850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162516017493157-0.16252370392723)×R²
    abs(1.03088303-1.03083509)×7.68643407308978e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.68643407308978e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.68643407308978e-06×40589641000000     		ar = 2463.52593651305m²