Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 87040 / 21505
↖ ↑ ↗
← N 76.184339°
E 59.062500°		 ← 72.94 m → N 76.184339°
E 59.065247°		 →
↑
72.88 m
↓
↑
72.88 m
↓
N 76.183684°
E 59.062500°		 ← 72.94 m →
5 316 m²		 N 76.183684°
E 59.065247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 87040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664066314697266 y=0.164073944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664066314697266 × 217)
    floor (0.664066314697266 × 131072)
    floor (87040.5)     		tx = 87040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164073944091797 × 217)
    floor (0.164073944091797 × 131072)
    floor (21505.5)     		ty = 21505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 87040 / 21505 ti = "17/87040/21505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/87040/21505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 87040 ÷ 217
    87040 ÷ 131072     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21505 ÷ 217
    21505 ÷ 131072     		y = 0.164070129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164070129394531 × 2 - 1) × π
    0.671859741210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.11070962717069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11070962717069))-π/2
    2×atan(8.2540965380304)-π/2
    2×1.45023194558961-π/2
    2.90046389117923-1.57079632675     		φ = 1.32966756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32966756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.184339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 87040 KachelY 21505 1.03083509 1.32966756 59.062500 76.184339
    Oben rechts KachelX + 1 87041 KachelY 21505 1.03088303 1.32966756 59.065247 76.184339
    Unten links KachelX 87040 KachelY + 1 21506 1.03083509 1.32965612 59.062500 76.183684
    Unten rechts KachelX + 1 87041 KachelY + 1 21506 1.03088303 1.32965612 59.065247 76.183684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32966756-1.32965612) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dl = 72.8842399998324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32966756-1.32965612) × R
    1.14399999999737e-05 × 6371000     		dr = 72.8842399998324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.03088303) × cos(1.32966756) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238798888816781 × 6371000     		do = 72.9353273279951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.03088303) × cos(1.32965612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238809997831032 × 6371000     		du = 72.9387203068936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32966756)-sin(1.32965612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238798888816781-0.238809997831032)×R²
    abs(1.03088303-1.03083509)×1.1109014251498e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1109014251498e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1109014251498e-05×40589641000000     		ar = 5315.9595487905m²