Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 87041 / 21503
↖ ↑ ↗
← N 76.185651°
E 59.065247°		 ← 72.91 m → N 76.185651°
E 59.067993°		 →
↑
72.95 m
↓
↑
72.95 m
↓
N 76.184995°
E 59.065247°		 ← 72.92 m →
5 319 m²		 N 76.184995°
E 59.067993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 87041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664073944091797 y=0.164058685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664073944091797 × 217)
    floor (0.664073944091797 × 131072)
    floor (87041.5)     		tx = 87041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164058685302734 × 217)
    floor (0.164058685302734 × 131072)
    floor (21503.5)     		ty = 21503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 87041 / 21503 ti = "17/87041/21503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/87041/21503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 87041 ÷ 217
    87041 ÷ 131072     		x = 0.664070129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21503 ÷ 217
    21503 ÷ 131072     		y = 0.164054870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.664070129394531 × 2 - 1) × π
    0.328140258789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.03088303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164054870605469 × 2 - 1) × π
    0.671890258789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.11080550096993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03088303} λ = 1.03088303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11080550096993))-π/2
    2×atan(8.25488792756095)-π/2
    2×1.45024339233492-π/2
    2.90048678466983-1.57079632675     		φ = 1.32969046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03088303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.065247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32969046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.185651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 87041 KachelY 21503 1.03088303 1.32969046 59.065247 76.185651
    Oben rechts KachelX + 1 87042 KachelY 21503 1.03093096 1.32969046 59.067993 76.185651
    Unten links KachelX 87041 KachelY + 1 21504 1.03088303 1.32967901 59.065247 76.184995
    Unten rechts KachelX + 1 87042 KachelY + 1 21504 1.03093096 1.32967901 59.067993 76.184995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32969046-1.32967901) × R
    1.14499999999129e-05 × 6371000     		dl = 72.9479499994452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32969046-1.32967901) × R
    1.14499999999129e-05 × 6371000     		dr = 72.9479499994452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03088303-1.03093096) × cos(1.32969046) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238776651273032 × 6371000     		do = 72.9133229493797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03088303-1.03093096) × cos(1.32967901) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238787770060559 × 6371000     		du = 72.9167182049102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32969046)-sin(1.32967901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238776651273032-0.238787770060559)×R²
    abs(1.03093096-1.03088303)×1.11187875273533e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11187875273533e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11187875273533e-05×40589641000000     		ar = 5319.00127529314m²