Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 87044 / 21508
↖ ↑ ↗
← N 76.182372°
E 59.073486°		 ← 72.93 m → N 76.182372°
E 59.076233°		 →
↑
72.95 m
↓
↑
72.95 m
↓
N 76.181716°
E 59.073486°		 ← 72.93 m →
5 320 m²		 N 76.181716°
E 59.076233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 87044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664096832275391 y=0.164096832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664096832275391 × 217)
    floor (0.664096832275391 × 131072)
    floor (87044.5)     		tx = 87044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164096832275391 × 217)
    floor (0.164096832275391 × 131072)
    floor (21508.5)     		ty = 21508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 87044 / 21508 ti = "17/87044/21508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/87044/21508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 87044 ÷ 217
    87044 ÷ 131072     		x = 0.664093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21508 ÷ 217
    21508 ÷ 131072     		y = 0.164093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.664093017578125 × 2 - 1) × π
    0.32818603515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.03102684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164093017578125 × 2 - 1) × π
    0.67181396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11056581647183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03102684} λ = 1.03102684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11056581647183))-π/2
    2×atan(8.25290959598833)-π/2
    2×1.45021477347336-π/2
    2.90042954694673-1.57079632675     		φ = 1.32963322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03102684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.073486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32963322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.182372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 87044 KachelY 21508 1.03102684 1.32963322 59.073486 76.182372
    Oben rechts KachelX + 1 87045 KachelY 21508 1.03107477 1.32963322 59.076233 76.182372
    Unten links KachelX 87044 KachelY + 1 21509 1.03102684 1.32962177 59.073486 76.181716
    Unten rechts KachelX + 1 87045 KachelY + 1 21509 1.03107477 1.32962177 59.076233 76.181716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32963322-1.32962177) × R
    1.1450000000135e-05 × 6371000     		dl = 72.9479500008598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32963322-1.32962177) × R
    1.1450000000135e-05 × 6371000     		dr = 72.9479500008598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03102684-1.03107477) × cos(1.32963322) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238832235186989 × 6371000     		do = 72.930296166181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03102684-1.03107477) × cos(1.32962177) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.238843353818001 × 6371000     		du = 72.9336913739177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32963322)-sin(1.32962177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238832235186989-0.238843353818001)×R²
    abs(1.03107477-1.03102684)×1.11186310119693e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11186310119693e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11186310119693e-05×40589641000000     		ar = 5320.23943510926m²