Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 87048 / 21512
↖ ↑ ↗
← N 76.179748°
E 59.084472°		 ← 72.96 m → N 76.179748°
E 59.087219°		 →
↑
72.95 m
↓
↑
72.95 m
↓
N 76.179092°
E 59.084472°		 ← 72.96 m →
5 322 m²		 N 76.179092°
E 59.087219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 87048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664127349853516 y=0.164127349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664127349853516 × 217)
    floor (0.664127349853516 × 131072)
    floor (87048.5)     		tx = 87048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164127349853516 × 217)
    floor (0.164127349853516 × 131072)
    floor (21512.5)     		ty = 21512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 87048 / 21512 ti = "17/87048/21512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/87048/21512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 87048 ÷ 217
    87048 ÷ 131072     		x = 0.66412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21512 ÷ 217
    21512 ÷ 131072     		y = 0.16412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66412353515625 × 2 - 1) × π
    0.3282470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03121858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16412353515625 × 2 - 1) × π
    0.6717529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11037406887335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03121858} λ = 1.03121858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11037406887335))-π/2
    2×atan(8.25132727210108)-π/2
    2×1.45019187358772-π/2
    2.90038374717544-1.57079632675     		φ = 1.32958742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03121858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.084472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32958742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.179748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 87048 KachelY 21512 1.03121858 1.32958742 59.084472 76.179748
    Oben rechts KachelX + 1 87049 KachelY 21512 1.03126652 1.32958742 59.087219 76.179748
    Unten links KachelX 87048 KachelY + 1 21513 1.03121858 1.32957597 59.084472 76.179092
    Unten rechts KachelX + 1 87049 KachelY + 1 21513 1.03126652 1.32957597 59.087219 76.179092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32958742-1.32957597) × R
    1.14499999999129e-05 × 6371000     		dl = 72.9479499994452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32958742-1.32957597) × R
    1.14499999999129e-05 × 6371000     		dr = 72.9479499994452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03121858-1.03126652) × cos(1.32958742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238876709523153 × 6371000     		do = 72.9590957748262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03121858-1.03126652) × cos(1.32957597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238887828028904 × 6371000     		du = 72.9624916526729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32958742)-sin(1.32957597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238876709523153-0.238887828028904)×R²
    abs(1.03126652-1.03121858)×1.11185057511676e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11185057511676e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11185057511676e-05×40589641000000     		ar = 5322.34033175339m²