Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 87056 / 21520
↖ ↑ ↗
← N 76.174498°
E 59.106445°		 ← 72.99 m → N 76.174498°
E 59.109192°		 →
↑
73.01 m
↓
↑
73.01 m
↓
N 76.173842°
E 59.106445°		 ← 72.99 m →
5 329 m²		 N 76.173842°
E 59.109192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 87056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664188385009766 y=0.164188385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664188385009766 × 217)
    floor (0.664188385009766 × 131072)
    floor (87056.5)     		tx = 87056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164188385009766 × 217)
    floor (0.164188385009766 × 131072)
    floor (21520.5)     		ty = 21520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 87056 / 21520 ti = "17/87056/21520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/87056/21520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 87056 ÷ 217
    87056 ÷ 131072     		x = 0.6641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21520 ÷ 217
    21520 ÷ 131072     		y = 0.1641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6641845703125 × 2 - 1) × π
    0.328369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.03160208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1641845703125 × 2 - 1) × π
    0.671630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10999057367639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03160208} λ = 1.03160208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10999057367639))-π/2
    2×atan(8.24816353440156)-π/2
    2×1.45014606102286-π/2
    2.90029212204572-1.57079632675     		φ = 1.32949580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03160208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.106445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32949580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.174498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 87056 KachelY 21520 1.03160208 1.32949580 59.106445 76.174498
    Oben rechts KachelX + 1 87057 KachelY 21520 1.03165002 1.32949580 59.109192 76.174498
    Unten links KachelX 87056 KachelY + 1 21521 1.03160208 1.32948434 59.106445 76.173842
    Unten rechts KachelX + 1 87057 KachelY + 1 21521 1.03165002 1.32948434 59.109192 76.173842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32949580-1.32948434) × R
    1.14599999998521e-05 × 6371000     		dl = 73.011659999058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32949580-1.32948434) × R
    1.14599999998521e-05 × 6371000     		dr = 73.011659999058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03160208-1.03165002) × cos(1.32949580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238965676112716 × 6371000     		do = 72.9862684612786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03160208-1.03165002) × cos(1.32948434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238976804078074 × 6371000     		du = 72.9896672283328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32949580)-sin(1.32948434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238965676112716-0.238976804078074)×R²
    abs(1.03165002-1.03160208)×1.11279653580432e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11279653580432e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11279653580432e-05×40589641000000     		ar = 5328.9726922835m²