Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 87104 / 21568
↖ ↑ ↗
← N 76.142959°
E 59.238281°		 ← 73.15 m → N 76.142959°
E 59.241028°		 →
↑
73.14 m
↓
↑
73.14 m
↓
N 76.142301°
E 59.238281°		 ← 73.15 m →
5 350 m²		 N 76.142301°
E 59.241028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 87104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664554595947266 y=0.164554595947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664554595947266 × 217)
    floor (0.664554595947266 × 131072)
    floor (87104.5)     		tx = 87104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164554595947266 × 217)
    floor (0.164554595947266 × 131072)
    floor (21568.5)     		ty = 21568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 87104 / 21568 ti = "17/87104/21568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/87104/21568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 87104 ÷ 217
    87104 ÷ 131072     		x = 0.66455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21568 ÷ 217
    21568 ÷ 131072     		y = 0.16455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66455078125 × 2 - 1) × π
    0.3291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.03390305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16455078125 × 2 - 1) × π
    0.6708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10768960249463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03390305} λ = 1.03390305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10768960249463))-π/2
    2×atan(8.22920656588948)-π/2
    2×1.44987082710024-π/2
    2.89974165420049-1.57079632675     		φ = 1.32894533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03390305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32894533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.142959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 87104 KachelY 21568 1.03390305 1.32894533 59.238281 76.142959
    Oben rechts KachelX + 1 87105 KachelY 21568 1.03395099 1.32894533 59.241028 76.142959
    Unten links KachelX 87104 KachelY + 1 21569 1.03390305 1.32893385 59.238281 76.142301
    Unten rechts KachelX + 1 87105 KachelY + 1 21569 1.03395099 1.32893385 59.241028 76.142301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32894533-1.32893385) × R
    1.14799999999526e-05 × 6371000     		dl = 73.1390799996983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32894533-1.32893385) × R
    1.14799999999526e-05 × 6371000     		dr = 73.1390799996983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03390305-1.03395099) × cos(1.32894533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239500161671703 × 6371000     		do = 73.1495141086516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03390305-1.03395099) × cos(1.32893385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239511307545724 × 6371000     		du = 73.1529183454724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32894533)-sin(1.32893385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239500161671703-0.239511307545724)×R²
    abs(1.03395099-1.03390305)×1.11458740208736e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11458740208736e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11458740208736e-05×40589641000000     		ar = 5350.21265580114m²