Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 87552 / 19968
↖ ↑ ↗
← N 77.157163°
E 60.468750°		 ← 67.89 m → N 77.157163°
E 60.471497°		 →
↑
67.91 m
↓
↑
67.91 m
↓
N 77.156552°
E 60.468750°		 ← 67.89 m →
4 611 m²		 N 77.156552°
E 60.471497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 87552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.667972564697266 y=0.152347564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.667972564697266 × 217)
    floor (0.667972564697266 × 131072)
    floor (87552.5)     		tx = 87552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152347564697266 × 217)
    floor (0.152347564697266 × 131072)
    floor (19968.5)     		ty = 19968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 87552 / 19968 ti = "17/87552/19968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/87552/19968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 87552 ÷ 217
    87552 ÷ 131072     		x = 0.66796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19968 ÷ 217
    19968 ÷ 131072     		y = 0.15234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66796875 × 2 - 1) × π
    0.3359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.05537878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15234375 × 2 - 1) × π
    0.6953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18438864188672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.05537878} λ = 1.05537878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18438864188672))-π/2
    2×atan(8.88521484438621)-π/2
    2×1.45872142714891-π/2
    2.91744285429783-1.57079632675     		φ = 1.34664653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.05537878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 60.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34664653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.157163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 87552 KachelY 19968 1.05537878 1.34664653 60.468750 77.157163
    Oben rechts KachelX + 1 87553 KachelY 19968 1.05542672 1.34664653 60.471497 77.157163
    Unten links KachelX 87552 KachelY + 1 19969 1.05537878 1.34663587 60.468750 77.156552
    Unten rechts KachelX + 1 87553 KachelY + 1 19969 1.05542672 1.34663587 60.471497 77.156552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34664653-1.34663587) × R
    1.06599999998291e-05 × 6371000     		dl = 67.9148599989115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34664653-1.34663587) × R
    1.06599999998291e-05 × 6371000     		dr = 67.9148599989115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.05537878-1.05542672) × cos(1.34664653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222277508521736 × 6371000     		do = 67.8892725255632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.05537878-1.05542672) × cos(1.34663587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222287901832582 × 6371000     		du = 67.8924469102193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34664653)-sin(1.34663587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222277508521736-0.222287901832582)×R²
    abs(1.05542672-1.05537878)×1.0393310845791e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0393310845791e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0393310845791e-05×40589641000000     		ar = 4610.7982330271m²