Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 88 / 119
↖ ↑ ↗
← S 82.308893°
E 67.500000°		 ← 41.854 km → S 82.308893°
E 70.312500°		 →
↑
40.852 km
↓
↑
40.852 km
↓
S 82.676285°
E 67.500000°		 ← 39.866 km →
1 669.23 km²		 S 82.676285°
E 70.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 88 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69140625 y=0.93359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69140625 × 27)
    floor (0.69140625 × 128)
    floor (88.5)     		tx = 88
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93359375 × 27)
    floor (0.93359375 × 128)
    floor (119.5)     		ty = 119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 88 / 119 ti = "7/88/119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/88/119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 88 ÷ 27
    88 ÷ 128     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119 ÷ 27
    119 ÷ 128     		y = 0.9296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9296875 × 2 - 1) × π
    -0.859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69980618660156))-π/2
    2×atan(0.0672185393308908)-π/2
    2×0.0671175743461181-π/2
    0.134235148692236-1.57079632675     		φ = -1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 88 KachelY 119 1.17809725 -1.43656118 67.500000 -82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 89 KachelY 119 1.22718463 -1.43656118 70.312500 -82.308893
    Unten links KachelX 88 KachelY + 1 120 1.17809725 -1.44297339 67.500000 -82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 89 KachelY + 1 120 1.22718463 -1.44297339 70.312500 -82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43656118--1.44297339) × R
    0.00641220999999992 × 6371000     		dl = 40852.1899099995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43656118--1.44297339) × R
    0.00641220999999992 × 6371000     		dr = 40852.1899099995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.22718463) × cos(-1.43656118) × R
    0.04908738 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 41854.1620380834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.22718463) × cos(-1.44297339) × R
    0.04908738 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 39866.0281975478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43656118)-sin(-1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.127475144203388)×R²
    abs(1.22718463-1.17809725)×0.00635723345104894×R²
    0.04908738×0.00635723345104894×6371000²
    0.04908738×0.00635723345104894×40589641000000     		ar = 1669230084.89687m²