Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 88 / 151
↖ ↑ ↗
← S 30.751278°
W 56.250000°		 ← 134.382 km → S 30.751278°
W 54.843750°		 →
↑
133.532 km
↓
↑
133.532 km
↓
S 31.952162°
W 56.250000°		 ← 132.677 km →
17 831.1 km²		 S 31.952162°
W 54.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 88 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345703125 y=0.591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345703125 × 28)
    floor (0.345703125 × 256)
    floor (88.5)     		tx = 88
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591796875 × 28)
    floor (0.591796875 × 256)
    floor (151.5)     		ty = 151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 88 / 151 ti = "8/88/151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/88/151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 88 ÷ 28
    88 ÷ 256     		x = 0.34375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 151 ÷ 28
    151 ÷ 256     		y = 0.58984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34375 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58984375 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.564504929925781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98174770} λ = -0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564504929925781))-π/2
    2×atan(0.568641594520013)-π/2
    2×0.517042640208852-π/2
    1.0340852804177-1.57079632675     		φ = -0.53671105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53671105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.751278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 88 KachelY 151 -0.98174770 -0.53671105 -56.250000 -30.751278
    Oben rechts KachelX + 1 89 KachelY 151 -0.95720401 -0.53671105 -54.843750 -30.751278
    Unten links KachelX 88 KachelY + 1 152 -0.98174770 -0.55767043 -56.250000 -31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 89 KachelY + 1 152 -0.95720401 -0.55767043 -54.843750 -31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53671105--0.55767043) × R
    0.0209593800000001 × 6371000     		dl = 133532.209980001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53671105--0.55767043) × R
    0.0209593800000001 × 6371000     		dr = 133532.209980001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98174770--0.95720401) × cos(-0.53671105) × R
    0.02454369 × 0.859395006889381 × 6371000     		do = 134381.748660039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98174770--0.95720401) × cos(-0.55767043) × R
    0.02454369 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 132676.594709722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53671105)-sin(-0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859395006889381-0.848490246343458)×R²
    abs(-0.95720401--0.98174770)×0.0109047605459229×R²
    0.02454369×0.0109047605459229×6371000²
    0.02454369×0.0109047605459229×40589641000000     		ar = 17831098156.9221m²