Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 88 / 152
↖ ↑ ↗
← S 31.952162°
W 56.250000°		 ← 132.677 km → S 31.952162°
W 54.843750°		 →
↑
131.809 km
↓
↑
131.809 km
↓
S 33.137551°
W 56.250000°		 ← 130.936 km →
17 373.9 km²		 S 33.137551°
W 54.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 88 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345703125 y=0.595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345703125 × 28)
    floor (0.345703125 × 256)
    floor (88.5)     		tx = 88
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595703125 × 28)
    floor (0.595703125 × 256)
    floor (152.5)     		ty = 152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 88 / 152 ti = "8/88/152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/88/152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 88 ÷ 28
    88 ÷ 256     		x = 0.34375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 152 ÷ 28
    152 ÷ 256     		y = 0.59375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34375 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59375 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Φ = -0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98174770} λ = -0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58904862253125))-π/2
    2×atan(0.554854910169195)-π/2
    2×0.506562946312123-π/2
    1.01312589262425-1.57079632675     		φ = -0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 88 KachelY 152 -0.98174770 -0.55767043 -56.250000 -31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 89 KachelY 152 -0.95720401 -0.55767043 -54.843750 -31.952162
    Unten links KachelX 88 KachelY + 1 153 -0.98174770 -0.57835937 -56.250000 -33.137551
    Unten rechts KachelX + 1 89 KachelY + 1 153 -0.95720401 -0.57835937 -54.843750 -33.137551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55767043--0.57835937) × R
    0.02068894 × 6371000     		dl = 131809.23674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55767043--0.57835937) × R
    0.02068894 × 6371000     		dr = 131809.23674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98174770--0.95720401) × cos(-0.55767043) × R
    0.02454369 × 0.848490246343458 × 6371000     		do = 132676.594709722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98174770--0.95720401) × cos(-0.57835937) × R
    0.02454369 × 0.837360628284139 × 6371000     		du = 130936.280273706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55767043)-sin(-0.57835937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848490246343458-0.837360628284139)×R²
    abs(-0.95720401--0.98174770)×0.0111296180593189×R²
    0.02454369×0.0111296180593189×6371000²
    0.02454369×0.0111296180593189×40589641000000     		ar = 17373925644.3125m²