Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 88 / 24
↖ ↑ ↗
← N 74.019543°
E 67.500000°		 ← 86.099 km → N 74.019543°
E 70.312500°		 →
↑
88.160 km
↓
↑
88.160 km
↓
N 73.226700°
E 67.500000°		 ← 90.251 km →
7 773.65 km²		 N 73.226700°
E 70.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 88 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69140625 y=0.19140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69140625 × 27)
    floor (0.69140625 × 128)
    floor (88.5)     		tx = 88
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19140625 × 27)
    floor (0.19140625 × 128)
    floor (24.5)     		ty = 24
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 88 / 24 ti = "7/88/24"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/88/24.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 88 ÷ 27
    88 ÷ 128     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24 ÷ 27
    24 ÷ 128     		y = 0.1875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1875 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9634954084375))-π/2
    2×atan(7.12418553281975)-π/2
    2×1.43134053419385-π/2
    2.86268106838771-1.57079632675     		φ = 1.29188474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29188474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.019543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 88 KachelY 24 1.17809725 1.29188474 67.500000 74.019543
    Oben rechts KachelX + 1 89 KachelY 24 1.22718463 1.29188474 70.312500 74.019543
    Unten links KachelX 88 KachelY + 1 25 1.17809725 1.27804701 67.500000 73.226700
    Unten rechts KachelX + 1 89 KachelY + 1 25 1.22718463 1.27804701 70.312500 73.226700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29188474-1.27804701) × R
    0.0138377299999999 × 6371000     		dl = 88160.1778299992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29188474-1.27804701) × R
    0.0138377299999999 × 6371000     		dr = 88160.1778299992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.22718463) × cos(1.29188474) × R
    0.04908738 × 0.275309459649329 × 6371000     		do = 86099.0960239297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.22718463) × cos(1.27804701) × R
    0.04908738 × 0.288585657047466 × 6371000     		du = 90251.0368837563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29188474)-sin(1.27804701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275309459649329-0.288585657047466)×R²
    abs(1.22718463-1.17809725)×0.0132761973981368×R²
    0.04908738×0.0132761973981368×6371000²
    0.04908738×0.0132761973981368×40589641000000     		ar = 7773653582.5333m²