Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 88064 / 14336
↖ ↑ ↗
← N 80.178713°
E 61.875000°		 ← 52.10 m → N 80.178713°
E 61.877746°		 →
↑
52.11 m
↓
↑
52.11 m
↓
N 80.178245°
E 61.875000°		 ← 52.10 m →
2 715 m²		 N 80.178245°
E 61.877746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 88064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.671878814697266 y=0.109378814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.671878814697266 × 217)
    floor (0.671878814697266 × 131072)
    floor (88064.5)     		tx = 88064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109378814697266 × 217)
    floor (0.109378814697266 × 131072)
    floor (14336.5)     		ty = 14336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 88064 / 14336 ti = "17/88064/14336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/88064/14336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 88064 ÷ 217
    88064 ÷ 131072     		x = 0.671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14336 ÷ 217
    14336 ÷ 131072     		y = 0.109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671875 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Λ = 1.07992247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109375 × 2 - 1) × π
    0.78125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45436926054687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07992247} λ = 1.07992247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45436926054687))-π/2
    2×atan(11.6390899999285)-π/2
    2×1.48508943365266-π/2
    2.97017886730533-1.57079632675     		φ = 1.39938254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07992247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39938254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.178713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 88064 KachelY 14336 1.07992247 1.39938254 61.875000 80.178713
    Oben rechts KachelX + 1 88065 KachelY 14336 1.07997041 1.39938254 61.877746 80.178713
    Unten links KachelX 88064 KachelY + 1 14337 1.07992247 1.39937436 61.875000 80.178245
    Unten rechts KachelX + 1 88065 KachelY + 1 14337 1.07997041 1.39937436 61.877746 80.178245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39938254-1.39937436) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dl = 52.1147800001547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39938254-1.39937436) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dr = 52.1147800001547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07992247-1.07997041) × cos(1.39938254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170575586251288 × 6371000     		do = 52.0981746566992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07992247-1.07997041) × cos(1.39937436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170583646364361 × 6371000     		du = 52.1006364226992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39938254)-sin(1.39937436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170575586251288-0.170583646364361)×R²
    abs(1.07997041-1.07992247)×8.06011307391552e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.06011307391552e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.06011307391552e-06×40589641000000     		ar = 2715.14905766511m²