Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 88064 / 22528
↖ ↑ ↗
← N 75.497157°
E 61.875000°		 ← 76.49 m → N 75.497157°
E 61.877746°		 →
↑
76.45 m
↓
↑
76.45 m
↓
N 75.496470°
E 61.875000°		 ← 76.49 m →
5 848 m²		 N 75.496470°
E 61.877746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 88064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.671878814697266 y=0.171878814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.671878814697266 × 217)
    floor (0.671878814697266 × 131072)
    floor (88064.5)     		tx = 88064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171878814697266 × 217)
    floor (0.171878814697266 × 131072)
    floor (22528.5)     		ty = 22528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 88064 / 22528 ti = "17/88064/22528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/88064/22528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 88064 ÷ 217
    88064 ÷ 131072     		x = 0.671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22528 ÷ 217
    22528 ÷ 131072     		y = 0.171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671875 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Λ = 1.07992247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171875 × 2 - 1) × π
    0.65625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06167017885938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07992247} λ = 1.07992247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06167017885938))-π/2
    2×atan(7.85908493247811)-π/2
    2×1.44423514894581-π/2
    2.88847029789162-1.57079632675     		φ = 1.31767397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07992247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31767397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.497157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 88064 KachelY 22528 1.07992247 1.31767397 61.875000 75.497157
    Oben rechts KachelX + 1 88065 KachelY 22528 1.07997041 1.31767397 61.877746 75.497157
    Unten links KachelX 88064 KachelY + 1 22529 1.07992247 1.31766197 61.875000 75.496470
    Unten rechts KachelX + 1 88065 KachelY + 1 22529 1.07997041 1.31766197 61.877746 75.496470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31767397-1.31766197) × R
    1.1999999999901e-05 × 6371000     		dl = 76.4519999993691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31767397-1.31766197) × R
    1.1999999999901e-05 × 6371000     		dr = 76.4519999993691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07992247-1.07997041) × cos(1.31767397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250428038638996 × 6371000     		do = 76.4871690180137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07992247-1.07997041) × cos(1.31766197) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250439656243563 × 6371000     		du = 76.4907173334856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31767397)-sin(1.31766197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250428038638996-0.250439656243563)×R²
    abs(1.07997041-1.07992247)×1.16176045670269e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16176045670269e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16176045670269e-05×40589641000000     		ar = 5847.73268358165m²