Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 88065 / 22527
↖ ↑ ↗
← N 75.497845°
E 61.877746°		 ← 76.48 m → N 75.497845°
E 61.880493°		 →
↑
76.52 m
↓
↑
76.52 m
↓
N 75.497157°
E 61.877746°		 ← 76.49 m →
5 852 m²		 N 75.497157°
E 61.880493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 88065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.671886444091797 y=0.171871185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.671886444091797 × 217)
    floor (0.671886444091797 × 131072)
    floor (88065.5)     		tx = 88065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171871185302734 × 217)
    floor (0.171871185302734 × 131072)
    floor (22527.5)     		ty = 22527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 88065 / 22527 ti = "17/88065/22527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/88065/22527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 88065 ÷ 217
    88065 ÷ 131072     		x = 0.671882629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22527 ÷ 217
    22527 ÷ 131072     		y = 0.171867370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671882629394531 × 2 - 1) × π
    0.343765258789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.07997041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171867370605469 × 2 - 1) × π
    0.656265258789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.061718115759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07997041} λ = 1.07997041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.061718115759))-π/2
    2×atan(7.85946168167364)-π/2
    2×1.44424115117838-π/2
    2.88848230235675-1.57079632675     		φ = 1.31768598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07997041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.877746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31768598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.497845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 88065 KachelY 22527 1.07997041 1.31768598 61.877746 75.497845
    Oben rechts KachelX + 1 88066 KachelY 22527 1.08001835 1.31768598 61.880493 75.497845
    Unten links KachelX 88065 KachelY + 1 22528 1.07997041 1.31767397 61.877746 75.497157
    Unten rechts KachelX + 1 88066 KachelY + 1 22528 1.08001835 1.31767397 61.880493 75.497157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31768598-1.31767397) × R
    1.20100000000622e-05 × 6371000     		dl = 76.5157100003966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31768598-1.31767397) × R
    1.20100000000622e-05 × 6371000     		dr = 76.5157100003966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07997041-1.08001835) × cos(1.31768598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250416411316985 × 6371000     		do = 76.4836177345843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07997041-1.08001835) × cos(1.31767397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250428038638996 × 6371000     		du = 76.4871690180137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31768598)-sin(1.31767397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250416411316985-0.250428038638996)×R²
    abs(1.08001835-1.07997041)×1.1627322011043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1627322011043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1627322011043e-05×40589641000000     		ar = 5852.33417901342m²