Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 88066 / 22530
↖ ↑ ↗
← N 75.495782°
E 61.880493°		 ← 76.49 m → N 75.495782°
E 61.883240°		 →
↑
76.52 m
↓
↑
76.52 m
↓
N 75.495093°
E 61.880493°		 ← 76.50 m →
5 853 m²		 N 75.495093°
E 61.883240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 88066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.671894073486328 y=0.171894073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.671894073486328 × 217)
    floor (0.671894073486328 × 131072)
    floor (88066.5)     		tx = 88066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171894073486328 × 217)
    floor (0.171894073486328 × 131072)
    floor (22530.5)     		ty = 22530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 88066 / 22530 ti = "17/88066/22530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/88066/22530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 88066 ÷ 217
    88066 ÷ 131072     		x = 0.671890258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22530 ÷ 217
    22530 ÷ 131072     		y = 0.171890258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671890258789062 × 2 - 1) × π
    0.343780517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.08001835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171890258789062 × 2 - 1) × π
    0.656219482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06157430506013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.08001835} λ = 1.08001835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06157430506013))-π/2
    2×atan(7.85833148826543)-π/2
    2×1.44422314364496-π/2
    2.88844628728992-1.57079632675     		φ = 1.31764996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.08001835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.880493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31764996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.495782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 88066 KachelY 22530 1.08001835 1.31764996 61.880493 75.495782
    Oben rechts KachelX + 1 88067 KachelY 22530 1.08006629 1.31764996 61.883240 75.495782
    Unten links KachelX 88066 KachelY + 1 22531 1.08001835 1.31763795 61.880493 75.495093
    Unten rechts KachelX + 1 88067 KachelY + 1 22531 1.08006629 1.31763795 61.883240 75.495093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31764996-1.31763795) × R
    1.20100000000622e-05 × 6371000     		dl = 76.5157100003966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31764996-1.31763795) × R
    1.20100000000622e-05 × 6371000     		dr = 76.5157100003966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.08001835-1.08006629) × cos(1.31764996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.250451283493359 × 6371000     		do = 76.4942685948587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.08001835-1.08006629) × cos(1.31763795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.25046291070703 × 6371000     		du = 76.4978198451983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31764996)-sin(1.31763795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250451283493359-0.25046291070703)×R²
    abs(1.08006629-1.08001835)×1.16272136708173e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16272136708173e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16272136708173e-05×40589641000000     		ar = 5853.14913570222m²