Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 88192 / 22656
↖ ↑ ↗
← N 75.408854°
E 62.226563°		 ← 76.93 m → N 75.408854°
E 62.229309°		 →
↑
76.96 m
↓
↑
76.96 m
↓
N 75.408162°
E 62.226563°		 ← 76.93 m →
5 921 m²		 N 75.408162°
E 62.229309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 88192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.672855377197266 y=0.172855377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.672855377197266 × 217)
    floor (0.672855377197266 × 131072)
    floor (88192.5)     		tx = 88192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172855377197266 × 217)
    floor (0.172855377197266 × 131072)
    floor (22656.5)     		ty = 22656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 88192 / 22656 ti = "17/88192/22656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/88192/22656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 88192 ÷ 217
    88192 ÷ 131072     		x = 0.6728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22656 ÷ 217
    22656 ÷ 131072     		y = 0.1728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6728515625 × 2 - 1) × π
    0.345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.08605840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1728515625 × 2 - 1) × π
    0.654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05553425570801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.08605840} λ = 1.08605840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05553425570801))-π/2
    2×atan(7.81100983467888)-π/2
    2×1.44346455911163-π/2
    2.88692911822325-1.57079632675     		φ = 1.31613279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.08605840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 62.226563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31613279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.408854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 88192 KachelY 22656 1.08605840 1.31613279 62.226563 75.408854
    Oben rechts KachelX + 1 88193 KachelY 22656 1.08610633 1.31613279 62.229309 75.408854
    Unten links KachelX 88192 KachelY + 1 22657 1.08605840 1.31612071 62.226563 75.408162
    Unten rechts KachelX + 1 88193 KachelY + 1 22657 1.08610633 1.31612071 62.229309 75.408162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31613279-1.31612071) × R
    1.20799999998589e-05 × 6371000     		dl = 76.9616799991009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31613279-1.31612071) × R
    1.20799999998589e-05 × 6371000     		dr = 76.9616799991009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.08605840-1.08610633) × cos(1.31613279) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.251919811268558 × 6371000     		do = 76.926744966231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.08605840-1.08610633) × cos(1.31612071) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.251931501647373 × 6371000     		du = 76.9303147640372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31613279)-sin(1.31612071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251919811268558-0.251931501647373)×R²
    abs(1.08610633-1.08605840)×1.16903788142664e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.16903788142664e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.16903788142664e-05×40589641000000     		ar = 5920.54889835354m²