Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 89600 / 26112
↖ ↑ ↗
← N 72.816073°
E 66.093750°		 ← 90.23 m → N 72.816073°
E 66.096497°		 →
↑
90.21 m
↓
↑
90.21 m
↓
N 72.815262°
E 66.093750°		 ← 90.24 m →
8 141 m²		 N 72.815262°
E 66.096497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 89600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.683597564697266 y=0.199222564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.683597564697266 × 217)
    floor (0.683597564697266 × 131072)
    floor (89600.5)     		tx = 89600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199222564697266 × 217)
    floor (0.199222564697266 × 131072)
    floor (26112.5)     		ty = 26112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 89600 / 26112 ti = "17/89600/26112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/89600/26112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 89600 ÷ 217
    89600 ÷ 131072     		x = 0.68359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26112 ÷ 217
    26112 ÷ 131072     		y = 0.19921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68359375 × 2 - 1) × π
    0.3671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.15355355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19921875 × 2 - 1) × π
    0.6015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88986433062109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.15355355} λ = 1.15355355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88986433062109))-π/2
    2×atan(6.61847069632126)-π/2
    2×1.42083828077337-π/2
    2.84167656154673-1.57079632675     		φ = 1.27088023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.15355355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27088023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.816073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 89600 KachelY 26112 1.15355355 1.27088023 66.093750 72.816073
    Oben rechts KachelX + 1 89601 KachelY 26112 1.15360149 1.27088023 66.096497 72.816073
    Unten links KachelX 89600 KachelY + 1 26113 1.15355355 1.27086607 66.093750 72.815262
    Unten rechts KachelX + 1 89601 KachelY + 1 26113 1.15360149 1.27086607 66.096497 72.815262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27088023-1.27086607) × R
    1.41599999998743e-05 × 6371000     		dl = 90.213359999199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27088023-1.27086607) × R
    1.41599999998743e-05 × 6371000     		dr = 90.213359999199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.15355355-1.15360149) × cos(1.27088023) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29544004982785 × 6371000     		do = 90.2349958442488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.15355355-1.15360149) × cos(1.27086607) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295453577713968 × 6371000     		du = 90.2391276088769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27088023)-sin(1.27086607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29544004982785-0.295453577713968)×R²
    abs(1.15360149-1.15355355)×1.35278861176924e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35278861176924e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35278861176924e-05×40589641000000     		ar = 8140.58853494305m²