Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 897 / 1919
↖ ↑ ↗
← S 82.653843°
W 22.324219°		 ← 2 499.22 m → S 82.653843°
W 22.148438°		 →
↑
2 495.46 m
↓
↑
2 495.46 m
↓
S 82.676285°
W 22.324219°		 ← 2 491.63 m →
6 227 219 m²		 S 82.676285°
W 22.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438232421875 y=0.937255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438232421875 × 211)
    floor (0.438232421875 × 2048)
    floor (897.5)     		tx = 897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.937255859375 × 211)
    floor (0.937255859375 × 2048)
    floor (1919.5)     		ty = 1919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 897 / 1919 ti = "11/897/1919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/897/1919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 897 ÷ 211
    897 ÷ 2048     		x = 0.43798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1919 ÷ 211
    1919 ÷ 2048     		y = 0.93701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38963112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93701171875 × 2 - 1) × π
    -0.8740234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.74582561023682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38963112} λ = -0.38963112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.74582561023682))-π/2
    2×atan(0.0641952787803778)-π/2
    2×0.0641073125469828-π/2
    0.128214625093966-1.57079632675     		φ = -1.44258170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38963112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44258170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.653843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 897 KachelY 1919 -0.38963112 -1.44258170 -22.324219 -82.653843
    Oben rechts KachelX + 1 898 KachelY 1919 -0.38656316 -1.44258170 -22.148438 -82.653843
    Unten links KachelX 897 KachelY + 1 1920 -0.38963112 -1.44297339 -22.324219 -82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 898 KachelY + 1 1920 -0.38656316 -1.44297339 -22.148438 -82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44258170--1.44297339) × R
    0.000391689999999834 × 6371000     		dl = 2495.45698999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44258170--1.44297339) × R
    0.000391689999999834 × 6371000     		dr = 2495.45698999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38963112--0.38656316) × cos(-1.44258170) × R
    0.00306795999999998 × 0.127863628915862 × 6371000     		do = 2499.21905892962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38963112--0.38656316) × cos(-1.44297339) × R
    0.00306795999999998 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 2491.62574716654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44258170)-sin(-1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127863628915862-0.127475144203388)×R²
    abs(-0.38656316--0.38963112)×0.000388484712473658×R²
    0.00306795999999998×0.000388484712473658×6371000²
    0.00306795999999998×0.000388484712473658×40589641000000     		ar = 6227219.35830373m²