Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 898 / 1922
↖ ↑ ↗
← S 82.720964°
W 22.148438°		 ← 2 476.51 m → S 82.720964°
W 21.972656°		 →
↑
2 472.71 m
↓
↑
2 472.71 m
↓
S 82.743202°
W 22.148438°		 ← 2 468.98 m →
6 114 387 m²		 S 82.743202°
W 21.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438720703125 y=0.938720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438720703125 × 211)
    floor (0.438720703125 × 2048)
    floor (898.5)     		tx = 898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938720703125 × 211)
    floor (0.938720703125 × 2048)
    floor (1922.5)     		ty = 1922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 898 / 1922 ti = "11/898/1922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/898/1922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 898 ÷ 211
    898 ÷ 2048     		x = 0.4384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1922 ÷ 211
    1922 ÷ 2048     		y = 0.9384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4384765625 × 2 - 1) × π
    -0.123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38656316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9384765625 × 2 - 1) × π
    -0.876953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75502949496387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38656316} λ = -0.38656316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75502949496387))-π/2
    2×atan(0.0636071435507032)-π/2
    2×0.0635215691379293-π/2
    0.127043138275859-1.57079632675     		φ = -1.44375319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38656316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44375319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.720964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 898 KachelY 1922 -0.38656316 -1.44375319 -22.148438 -82.720964
    Oben rechts KachelX + 1 899 KachelY 1922 -0.38349520 -1.44375319 -21.972656 -82.720964
    Unten links KachelX 898 KachelY + 1 1923 -0.38656316 -1.44414131 -22.148438 -82.743202
    Unten rechts KachelX + 1 899 KachelY + 1 1923 -0.38349520 -1.44414131 -21.972656 -82.743202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44375319--1.44414131) × R
    0.000388119999999992 × 6371000     		dl = 2472.71251999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44375319--1.44414131) × R
    0.000388119999999992 × 6371000     		dr = 2472.71251999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38656316--0.38349520) × cos(-1.44375319) × R
    0.00306796000000004 × 0.126701667315055 × 6371000     		do = 2476.50738866735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38656316--0.38349520) × cos(-1.44414131) × R
    0.00306796000000004 × 0.126316665691675 × 6371000     		du = 2468.9821572702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44375319)-sin(-1.44414131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126701667315055-0.126316665691675)×R²
    abs(-0.38349520--0.38656316)×0.000385001623380343×R²
    0.00306796000000004×0.000385001623380343×6371000²
    0.00306796000000004×0.000385001623380343×40589641000000     		ar = 6114387.03563886m²