Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 898 / 390
↖ ↑ ↗
← N 39.368279°
E135.703125°		 ← 30.221 km → N 39.368279°
E136.054688°		 →
↑
30.280 km
↓
↑
30.280 km
↓
N 39.095963°
E135.703125°		 ← 30.339 km →
916.889 km²		 N 39.095963°
E136.054688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87744140625 y=0.38134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87744140625 × 210)
    floor (0.87744140625 × 1024)
    floor (898.5)     		tx = 898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38134765625 × 210)
    floor (0.38134765625 × 1024)
    floor (390.5)     		ty = 390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 898 / 390 ti = "10/898/390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/898/390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 898 ÷ 210
    898 ÷ 1024     		x = 0.876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 390 ÷ 210
    390 ÷ 1024     		y = 0.380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876953125 × 2 - 1) × π
    0.75390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36846634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380859375 × 2 - 1) × π
    0.23828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.748582624466797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36846634} λ = 2.36846634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.748582624466797))-π/2
    2×atan(2.11400155805821)-π/2
    2×1.12895120938772-π/2
    2.25790241877543-1.57079632675     		φ = 0.68710609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36846634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68710609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.368279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 898 KachelY 390 2.36846634 0.68710609 135.703125 39.368279
    Oben rechts KachelX + 1 899 KachelY 390 2.37460226 0.68710609 136.054688 39.368279
    Unten links KachelX 898 KachelY + 1 391 2.36846634 0.68235328 135.703125 39.095963
    Unten rechts KachelX + 1 899 KachelY + 1 391 2.37460226 0.68235328 136.054688 39.095963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68710609-0.68235328) × R
    0.00475281000000005 × 6371000     		dl = 30280.1525100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68710609-0.68235328) × R
    0.00475281000000005 × 6371000     		dr = 30280.1525100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36846634-2.37460226) × cos(0.68710609) × R
    0.00613592000000018 × 0.773084864262395 × 6371000     		do = 30221.3920145509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36846634-2.37460226) × cos(0.68235328) × R
    0.00613592000000018 × 0.776090840999745 × 6371000     		du = 30338.9014958066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68710609)-sin(0.68235328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773084864262395-0.776090840999745)×R²
    abs(2.37460226-2.36846634)×0.00300597673735004×R²
    0.00613592000000018×0.00300597673735004×6371000²
    0.00613592000000018×0.00300597673735004×40589641000000     		ar = 916889187.755653m²