Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 900 / 387
↖ ↑ ↗
← N 40.178873°
E136.406250°		 ← 29.868 km → N 40.178873°
E136.757813°		 →
↑
29.927 km
↓
↑
29.927 km
↓
N 39.909736°
E136.406250°		 ← 29.986 km →
895.609 km²		 N 39.909736°
E136.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87939453125 y=0.37841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87939453125 × 210)
    floor (0.87939453125 × 1024)
    floor (900.5)     		tx = 900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37841796875 × 210)
    floor (0.37841796875 × 1024)
    floor (387.5)     		ty = 387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 900 / 387 ti = "10/900/387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/900/387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 900 ÷ 210
    900 ÷ 1024     		x = 0.87890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 387 ÷ 210
    387 ÷ 1024     		y = 0.3779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87890625 × 2 - 1) × π
    0.7578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.38073818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3779296875 × 2 - 1) × π
    0.244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.766990393920898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38073818} λ = 2.38073818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.766990393920898))-π/2
    2×atan(2.1532759796213)-π/2
    2×1.13602497792759-π/2
    2.27204995585519-1.57079632675     		φ = 0.70125363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38073818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70125363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.178873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 900 KachelY 387 2.38073818 0.70125363 136.406250 40.178873
    Oben rechts KachelX + 1 901 KachelY 387 2.38687411 0.70125363 136.757813 40.178873
    Unten links KachelX 900 KachelY + 1 388 2.38073818 0.69655630 136.406250 39.909736
    Unten rechts KachelX + 1 901 KachelY + 1 388 2.38687411 0.69655630 136.757813 39.909736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70125363-0.69655630) × R
    0.00469732999999994 × 6371000     		dl = 29926.6894299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70125363-0.69655630) × R
    0.00469732999999994 × 6371000     		dr = 29926.6894299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38073818-2.38687411) × cos(0.70125363) × R
    0.00613593000000012 × 0.764033975868385 × 6371000     		do = 29867.6238479083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38073818-2.38687411) × cos(0.69655630) × R
    0.00613593000000012 × 0.767056140195237 × 6371000     		du = 29985.7663260859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70125363)-sin(0.69655630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764033975868385-0.767056140195237)×R²
    abs(2.38687411-2.38073818)×0.00302216432685232×R²
    0.00613593000000012×0.00302216432685232×6371000²
    0.00613593000000012×0.00302216432685232×40589641000000     		ar = 895608556.328898m²