Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 900 / 388
↖ ↑ ↗
← N 39.909736°
E136.406250°		 ← 29.986 km → N 39.909736°
E136.757813°		 →
↑
30.045 km
↓
↑
30.045 km
↓
N 39.639537°
E136.406250°		 ← 30.104 km →
902.688 km²		 N 39.639537°
E136.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87939453125 y=0.37939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87939453125 × 210)
    floor (0.87939453125 × 1024)
    floor (900.5)     		tx = 900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37939453125 × 210)
    floor (0.37939453125 × 1024)
    floor (388.5)     		ty = 388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 900 / 388 ti = "10/900/388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/900/388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 900 ÷ 210
    900 ÷ 1024     		x = 0.87890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 388 ÷ 210
    388 ÷ 1024     		y = 0.37890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87890625 × 2 - 1) × π
    0.7578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.38073818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37890625 × 2 - 1) × π
    0.2421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.760854470769531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38073818} λ = 2.38073818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.760854470769531))-π/2
    2×atan(2.14010409584623)-π/2
    2×1.13367631383669-π/2
    2.26735262767337-1.57079632675     		φ = 0.69655630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38073818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69655630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.909736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 900 KachelY 388 2.38073818 0.69655630 136.406250 39.909736
    Oben rechts KachelX + 1 901 KachelY 388 2.38687411 0.69655630 136.757813 39.909736
    Unten links KachelX 900 KachelY + 1 389 2.38073818 0.69184044 136.406250 39.639537
    Unten rechts KachelX + 1 901 KachelY + 1 389 2.38687411 0.69184044 136.757813 39.639537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69655630-0.69184044) × R
    0.00471586000000002 × 6371000     		dl = 30044.7440600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69655630-0.69184044) × R
    0.00471586000000002 × 6371000     		dr = 30044.7440600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38073818-2.38687411) × cos(0.69655630) × R
    0.00613593000000012 × 0.767056140195237 × 6371000     		do = 29985.7663260859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38073818-2.38687411) × cos(0.69184044) × R
    0.00613593000000012 × 0.770073200977456 × 6371000     		du = 30103.7092964455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69655630)-sin(0.69184044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767056140195237-0.770073200977456)×R²
    abs(2.38687411-2.38073818)×0.00301706078221953×R²
    0.00613593000000012×0.00301706078221953×6371000²
    0.00613593000000012×0.00301706078221953×40589641000000     		ar = 902688130.821935m²