Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90112 / 90112
↖ ↑ ↗
← S 55.776573°
E 67.500000°		 ← 171.74 m → S 55.776573°
E 67.502746°		 →
↑
171.76 m
↓
↑
171.76 m
↓
S 55.778117°
E 67.500000°		 ← 171.74 m →
29 498 m²		 S 55.778117°
E 67.502746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687503814697266 y=0.687503814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687503814697266 × 217)
    floor (0.687503814697266 × 131072)
    floor (90112.5)     		tx = 90112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687503814697266 × 217)
    floor (0.687503814697266 × 131072)
    floor (90112.5)     		ty = 90112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90112 / 90112 ti = "17/90112/90112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90112/90112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90112 ÷ 217
    90112 ÷ 131072     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90112 ÷ 217
    90112 ÷ 131072     		y = 0.6875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6875 × 2 - 1) × π
    -0.375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1780972450625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1780972450625))-π/2
    2×atan(0.307863971338866)-π/2
    2×0.298655741079525-π/2
    0.597311482159051-1.57079632675     		φ = -0.97348484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97348484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.776573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90112 KachelY 90112 1.17809725 -0.97348484 67.500000 -55.776573
    Oben rechts KachelX + 1 90113 KachelY 90112 1.17814518 -0.97348484 67.502746 -55.776573
    Unten links KachelX 90112 KachelY + 1 90113 1.17809725 -0.97351180 67.500000 -55.778117
    Unten rechts KachelX + 1 90113 KachelY + 1 90113 1.17814518 -0.97351180 67.502746 -55.778117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97348484--0.97351180) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dl = 171.762160000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97348484--0.97351180) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dr = 171.762160000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.17814518) × cos(-0.97348484) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.562421509722991 × 6371000     		do = 171.742173924782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.17814518) × cos(-0.97351180) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.562399217624292 × 6371000     		du = 171.735366764271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97348484)-sin(-0.97351180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562421509722991-0.562399217624292)×R²
    abs(1.17814518-1.17809725)×2.22920986994168e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.22920986994168e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.22920986994168e-05×40589641000000     		ar = 29498.2221520132m²