Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90113 / 122881
↖ ↑ ↗
← S 82.676635°
E 67.502746°		 ← 38.93 m → S 82.676635°
E 67.505493°		 →
↑
38.93 m
↓
↑
38.93 m
↓
S 82.676985°
E 67.502746°		 ← 38.93 m →
1 515 m²		 S 82.676985°
E 67.505493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 122881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687511444091797 y=0.937511444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687511444091797 × 217)
    floor (0.687511444091797 × 131072)
    floor (90113.5)     		tx = 90113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.937511444091797 × 217)
    floor (0.937511444091797 × 131072)
    floor (122881.5)     		ty = 122881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90113 / 122881 ti = "17/90113/122881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90113/122881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90113 ÷ 217
    90113 ÷ 131072     		x = 0.687507629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 122881 ÷ 217
    122881 ÷ 131072     		y = 0.937507629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687507629394531 × 2 - 1) × π
    0.375015258789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.17814518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.937507629394531 × 2 - 1) × π
    -0.875015258789062 × 3.1415926535     		Φ = -2.74894150871212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17814518} λ = 1.17814518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.74894150871212))-π/2
    2×atan(0.0639955641159963)-π/2
    2×0.0639084149987439-π/2
    0.127816829997488-1.57079632675     		φ = -1.44297950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17814518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.502746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44297950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.676635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90113 KachelY 122881 1.17814518 -1.44297950 67.502746 -82.676635
    Oben rechts KachelX + 1 90114 KachelY 122881 1.17819312 -1.44297950 67.505493 -82.676635
    Unten links KachelX 90113 KachelY + 1 122882 1.17814518 -1.44298561 67.502746 -82.676985
    Unten rechts KachelX + 1 90114 KachelY + 1 122882 1.17819312 -1.44298561 67.505493 -82.676985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44297950--1.44298561) × R
    6.1099999999481e-06 × 6371000     		dl = 38.9268099996694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44297950--1.44298561) × R
    6.1099999999481e-06 × 6371000     		dr = 38.9268099996694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17814518-1.17819312) × cos(-1.44297950) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127469084047822 × 6371000     		do = 38.9323393224028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17814518-1.17819312) × cos(-1.44298561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127463023887498 × 6371000     		du = 38.9304883934511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44297950)-sin(-1.44298561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127469084047822-0.127463023887498)×R²
    abs(1.17819312-1.17814518)×6.06016032470014e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.06016032470014e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.06016032470014e-06×40589641000000     		ar = 1515.47575029899m²