Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90113 / 24577
↖ ↑ ↗
← N 74.018787°
E 67.502746°		 ← 84.09 m → N 74.018787°
E 67.505493°		 →
↑
84.03 m
↓
↑
84.03 m
↓
N 74.018031°
E 67.502746°		 ← 84.09 m →
7 067 m²		 N 74.018031°
E 67.505493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687511444091797 y=0.187511444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687511444091797 × 217)
    floor (0.687511444091797 × 131072)
    floor (90113.5)     		tx = 90113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187511444091797 × 217)
    floor (0.187511444091797 × 131072)
    floor (24577.5)     		ty = 24577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90113 / 24577 ti = "17/90113/24577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90113/24577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90113 ÷ 217
    90113 ÷ 131072     		x = 0.687507629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24577 ÷ 217
    24577 ÷ 131072     		y = 0.187507629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687507629394531 × 2 - 1) × π
    0.375015258789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.17814518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187507629394531 × 2 - 1) × π
    0.624984741210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.96344747153788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17814518} λ = 1.17814518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96344747153788))-π/2
    2×atan(7.12384402963836)-π/2
    2×1.43133393530087-π/2
    2.86266787060175-1.57079632675     		φ = 1.29187154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17814518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.502746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29187154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.018787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90113 KachelY 24577 1.17814518 1.29187154 67.502746 74.018787
    Oben rechts KachelX + 1 90114 KachelY 24577 1.17819312 1.29187154 67.505493 74.018787
    Unten links KachelX 90113 KachelY + 1 24578 1.17814518 1.29185835 67.502746 74.018031
    Unten rechts KachelX + 1 90114 KachelY + 1 24578 1.17819312 1.29185835 67.505493 74.018031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29187154-1.29185835) × R
    1.31899999999963e-05 × 6371000     		dl = 84.0334899999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29187154-1.29185835) × R
    1.31899999999963e-05 × 6371000     		dr = 84.0334899999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17814518-1.17819312) × cos(1.29187154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275322149520031 × 6371000     		do = 84.0904712554911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17814518-1.17819312) × cos(1.29185835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275334829729277 × 6371000     		du = 84.0943441177834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29187154)-sin(1.29185835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275322149520031-0.275334829729277)×R²
    abs(1.17819312-1.17814518)×1.26802092459966e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26802092459966e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26802092459966e-05×40589641000000     		ar = 7066.57850043782m²