Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90114 / 24582
↖ ↑ ↗
← N 74.015006°
E 67.505493°		 ← 84.11 m → N 74.015006°
E 67.508240°		 →
↑
84.16 m
↓
↑
84.16 m
↓
N 74.014249°
E 67.505493°		 ← 84.11 m →
7 079 m²		 N 74.014249°
E 67.508240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687519073486328 y=0.187549591064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687519073486328 × 217)
    floor (0.687519073486328 × 131072)
    floor (90114.5)     		tx = 90114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187549591064453 × 217)
    floor (0.187549591064453 × 131072)
    floor (24582.5)     		ty = 24582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90114 / 24582 ti = "17/90114/24582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90114/24582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90114 ÷ 217
    90114 ÷ 131072     		x = 0.687515258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24582 ÷ 217
    24582 ÷ 131072     		y = 0.187545776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687515258789062 × 2 - 1) × π
    0.375030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17819312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187545776367188 × 2 - 1) × π
    0.624908447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96320778703978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17819312} λ = 1.17819312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96320778703978))-π/2
    2×atan(7.12213675926886)-π/2
    2×1.43130093627403-π/2
    2.86260187254806-1.57079632675     		φ = 1.29180555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17819312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.505493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29180555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.015006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90114 KachelY 24582 1.17819312 1.29180555 67.505493 74.015006
    Oben rechts KachelX + 1 90115 KachelY 24582 1.17824106 1.29180555 67.508240 74.015006
    Unten links KachelX 90114 KachelY + 1 24583 1.17819312 1.29179234 67.505493 74.014249
    Unten rechts KachelX + 1 90115 KachelY + 1 24583 1.17824106 1.29179234 67.508240 74.014249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29180555-1.29179234) × R
    1.32100000000968e-05 × 6371000     		dl = 84.1609100006164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29180555-1.29179234) × R
    1.32100000000968e-05 × 6371000     		dr = 84.1609100006164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17819312-1.17824106) × cos(1.29180555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275385588540577 × 6371000     		do = 84.1098471652861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17819312-1.17824106) × cos(1.29179234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275398287736752 × 6371000     		du = 84.1137258266751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29180555)-sin(1.29179234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275385588540577-0.275398287736752)×R²
    abs(1.17824106-1.17819312)×1.26991961746925e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26991961746925e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26991961746925e-05×40589641000000     		ar = 7078.92449341586m²