Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 90114 / 40962
↖ ↑ ↗
← N 55.773483°
E 67.505493°		 ← 171.79 m → N 55.773483°
E 67.508240°		 →
↑
171.76 m
↓
↑
171.76 m
↓
N 55.771939°
E 67.505493°		 ← 171.80 m →
29 508 m²		 N 55.771939°
E 67.508240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687519073486328 y=0.312519073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687519073486328 × 217)
    floor (0.687519073486328 × 131072)
    floor (90114.5)     		tx = 90114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312519073486328 × 217)
    floor (0.312519073486328 × 131072)
    floor (40962.5)     		ty = 40962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90114 / 40962 ti = "17/90114/40962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90114/40962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90114 ÷ 217
    90114 ÷ 131072     		x = 0.687515258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40962 ÷ 217
    40962 ÷ 131072     		y = 0.312515258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687515258789062 × 2 - 1) × π
    0.375030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17819312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312515258789062 × 2 - 1) × π
    0.374969482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17800137126326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17819312} λ = 1.17819312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17800137126326))-π/2
    2×atan(3.24787641258584)-π/2
    2×1.27211362390345-π/2
    2.5442272478069-1.57079632675     		φ = 0.97343092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17819312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.505493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97343092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.773483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90114 KachelY 40962 1.17819312 0.97343092 67.505493 55.773483
    Oben rechts KachelX + 1 90115 KachelY 40962 1.17824106 0.97343092 67.508240 55.773483
    Unten links KachelX 90114 KachelY + 1 40963 1.17819312 0.97340396 67.505493 55.771939
    Unten rechts KachelX + 1 90115 KachelY + 1 40963 1.17824106 0.97340396 67.508240 55.771939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97343092-0.97340396) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dl = 171.762160000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97343092-0.97340396) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dr = 171.762160000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17819312-1.17824106) × cos(0.97343092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562466092694 × 6371000     		do = 171.791622585861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17819312-1.17824106) × cos(0.97340396) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.562488383566277 × 6371000     		du = 171.798430792021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97343092)-sin(0.97340396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562466092694-0.562488383566277)×R²
    abs(1.17824106-1.17819312)×2.22908722768977e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.22908722768977e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.22908722768977e-05×40589641000000     		ar = 29507.8848632623m²