Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90116 / 24580
↖ ↑ ↗
← N 74.016519°
E 67.510986°		 ← 84.10 m → N 74.016519°
E 67.513733°		 →
↑
84.10 m
↓
↑
84.10 m
↓
N 74.015762°
E 67.510986°		 ← 84.11 m →
7 073 m²		 N 74.015762°
E 67.513733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687534332275391 y=0.187534332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687534332275391 × 217)
    floor (0.687534332275391 × 131072)
    floor (90116.5)     		tx = 90116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187534332275391 × 217)
    floor (0.187534332275391 × 131072)
    floor (24580.5)     		ty = 24580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90116 / 24580 ti = "17/90116/24580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90116/24580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90116 ÷ 217
    90116 ÷ 131072     		x = 0.687530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24580 ÷ 217
    24580 ÷ 131072     		y = 0.187530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687530517578125 × 2 - 1) × π
    0.37506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17828899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187530517578125 × 2 - 1) × π
    0.62493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96330366083902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17828899} λ = 1.17828899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96330366083902))-π/2
    2×atan(7.1228196183123)-π/2
    2×1.43131413679721-π/2
    2.86262827359441-1.57079632675     		φ = 1.29183195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17828899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.510986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29183195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.016519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90116 KachelY 24580 1.17828899 1.29183195 67.510986 74.016519
    Oben rechts KachelX + 1 90117 KachelY 24580 1.17833693 1.29183195 67.513733 74.016519
    Unten links KachelX 90116 KachelY + 1 24581 1.17828899 1.29181875 67.510986 74.015762
    Unten rechts KachelX + 1 90117 KachelY + 1 24581 1.17833693 1.29181875 67.513733 74.015762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29183195-1.29181875) × R
    1.31999999999355e-05 × 6371000     		dl = 84.097199999589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29183195-1.29181875) × R
    1.31999999999355e-05 × 6371000     		dr = 84.097199999589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17828899-1.17833693) × cos(1.29183195) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275360209230885 × 6371000     		do = 84.1020956708427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17828899-1.17833693) × cos(1.29181875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275372898909721 × 6371000     		du = 84.1059714253917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29183195)-sin(1.29181875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275360209230885-0.275372898909721)×R²
    abs(1.17833693-1.17828899)×1.26896788364972e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26896788364972e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26896788364972e-05×40589641000000     		ar = 7072.91373011251m²