Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90116 / 24588
↖ ↑ ↗
← N 74.010467°
E 67.510986°		 ← 84.13 m → N 74.010467°
E 67.513733°		 →
↑
84.16 m
↓
↑
84.16 m
↓
N 74.009710°
E 67.510986°		 ← 84.14 m →
7 081 m²		 N 74.009710°
E 67.513733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687534332275391 y=0.187595367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687534332275391 × 217)
    floor (0.687534332275391 × 131072)
    floor (90116.5)     		tx = 90116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187595367431641 × 217)
    floor (0.187595367431641 × 131072)
    floor (24588.5)     		ty = 24588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90116 / 24588 ti = "17/90116/24588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90116/24588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90116 ÷ 217
    90116 ÷ 131072     		x = 0.687530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24588 ÷ 217
    24588 ÷ 131072     		y = 0.187591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687530517578125 × 2 - 1) × π
    0.37506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17828899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187591552734375 × 2 - 1) × π
    0.62481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96292016564206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17828899} λ = 1.17828899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96292016564206))-π/2
    2×atan(7.12008857490435)-π/2
    2×1.43126132740387-π/2
    2.86252265480773-1.57079632675     		φ = 1.29172633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17828899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.510986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29172633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.010467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90116 KachelY 24588 1.17828899 1.29172633 67.510986 74.010467
    Oben rechts KachelX + 1 90117 KachelY 24588 1.17833693 1.29172633 67.513733 74.010467
    Unten links KachelX 90116 KachelY + 1 24589 1.17828899 1.29171312 67.510986 74.009710
    Unten rechts KachelX + 1 90117 KachelY + 1 24589 1.17833693 1.29171312 67.513733 74.009710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29172633-1.29171312) × R
    1.32099999998747e-05 × 6371000     		dl = 84.1609099992018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29172633-1.29171312) × R
    1.32099999998747e-05 × 6371000     		dr = 84.1609099992018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17828899-1.17833693) × cos(1.29172633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275461744544227 × 6371000     		do = 84.1331071690564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17828899-1.17833693) × cos(1.29171312) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.275474443452165 × 6371000     		du = 84.1369857424106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29172633)-sin(1.29171312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275461744544227-0.275474443452165)×R²
    abs(1.17833693-1.17828899)×1.26989079380357e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.26989079380357e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.26989079380357e-05×40589641000000     		ar = 7080.88207263836m²