Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90116 / 57348
↖ ↑ ↗
← N 21.932855°
E 67.510986°		 ← 283.32 m → N 21.932855°
E 67.513733°		 →
↑
283.32 m
↓
↑
283.32 m
↓
N 21.930307°
E 67.510986°		 ← 283.32 m →
80 270 m²		 N 21.930307°
E 67.513733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687534332275391 y=0.437534332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687534332275391 × 217)
    floor (0.687534332275391 × 131072)
    floor (90116.5)     		tx = 90116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437534332275391 × 217)
    floor (0.437534332275391 × 131072)
    floor (57348.5)     		ty = 57348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90116 / 57348 ti = "17/90116/57348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90116/57348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90116 ÷ 217
    90116 ÷ 131072     		x = 0.687530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57348 ÷ 217
    57348 ÷ 131072     		y = 0.437530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687530517578125 × 2 - 1) × π
    0.37506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17828899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437530517578125 × 2 - 1) × π
    0.12493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.39250733408902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17828899} λ = 1.17828899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39250733408902))-π/2
    2×atan(1.48068872474413)-π/2
    2×0.976798428147587-π/2
    1.95359685629517-1.57079632675     		φ = 0.38280053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17828899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.510986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38280053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.932855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90116 KachelY 57348 1.17828899 0.38280053 67.510986 21.932855
    Oben rechts KachelX + 1 90117 KachelY 57348 1.17833693 0.38280053 67.513733 21.932855
    Unten links KachelX 90116 KachelY + 1 57349 1.17828899 0.38275606 67.510986 21.930307
    Unten rechts KachelX + 1 90117 KachelY + 1 57349 1.17833693 0.38275606 67.513733 21.930307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38280053-0.38275606) × R
    4.44700000000187e-05 × 6371000     		dl = 283.318370000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38280053-0.38275606) × R
    4.44700000000187e-05 × 6371000     		dr = 283.318370000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17828899-1.17833693) × cos(0.38280053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92762222129089 × 6371000     		do = 283.319703378028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17828899-1.17833693) × cos(0.38275606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927638830797593 × 6371000     		du = 283.324776348904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38280053)-sin(0.38275606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92762222129089-0.927638830797593)×R²
    abs(1.17833693-1.17828899)×1.66095067034577e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66095067034577e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66095067034577e-05×40589641000000     		ar = 80270.3951960843m²