Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90144 / 8224
↖ ↑ ↗
← N 82.665072°
E 67.587891°		 ← 38.99 m → N 82.665072°
E 67.590637°		 →
↑
38.99 m
↓
↑
38.99 m
↓
N 82.664722°
E 67.587891°		 ← 38.99 m →
1 520 m²		 N 82.664722°
E 67.590637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687747955322266 y=0.0627479553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687747955322266 × 217)
    floor (0.687747955322266 × 131072)
    floor (90144.5)     		tx = 90144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0627479553222656 × 217)
    floor (0.0627479553222656 × 131072)
    floor (8224.5)     		ty = 8224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90144 / 8224 ti = "17/90144/8224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90144/8224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90144 ÷ 217
    90144 ÷ 131072     		x = 0.687744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8224 ÷ 217
    8224 ÷ 131072     		y = 0.062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687744140625 × 2 - 1) × π
    0.37548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17963123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.062744140625 × 2 - 1) × π
    0.87451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.74735959102466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17963123} λ = 1.17963123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74735959102466))-π/2
    2×atan(15.6013834189367)-π/2
    2×1.50678700985745-π/2
    3.01357401971491-1.57079632675     		φ = 1.44277769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17963123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.587891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44277769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.665072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90144 KachelY 8224 1.17963123 1.44277769 67.587891 82.665072
    Oben rechts KachelX + 1 90145 KachelY 8224 1.17967916 1.44277769 67.590637 82.665072
    Unten links KachelX 90144 KachelY + 1 8225 1.17963123 1.44277157 67.587891 82.664722
    Unten rechts KachelX + 1 90145 KachelY + 1 8225 1.17967916 1.44277157 67.590637 82.664722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44277769-1.44277157) × R
    6.12000000010937e-06 × 6371000     		dl = 38.9905200006968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44277769-1.44277157) × R
    6.12000000010937e-06 × 6371000     		dr = 38.9905200006968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17963123-1.17967916) × cos(1.44277769) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.127669245194587 × 6371000     		do = 38.9853398812108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17963123-1.17967916) × cos(1.44277157) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.12767531511101 × 6371000     		du = 38.9871934032114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44277769)-sin(1.44277157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127669245194587-0.12767531511101)×R²
    abs(1.17967916-1.17963123)×6.0699164222966e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.0699164222966e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.0699164222966e-06×40589641000000     		ar = 1520.09480926926m²