Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90160 / 24560
↖ ↑ ↗
← N 74.031637°
E 67.631836°		 ← 84.01 m → N 74.031637°
E 67.634582°		 →
↑
83.97 m
↓
↑
83.97 m
↓
N 74.030882°
E 67.631836°		 ← 84.01 m →
7 054 m²		 N 74.030882°
E 67.634582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687870025634766 y=0.187381744384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687870025634766 × 217)
    floor (0.687870025634766 × 131072)
    floor (90160.5)     		tx = 90160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187381744384766 × 217)
    floor (0.187381744384766 × 131072)
    floor (24560.5)     		ty = 24560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90160 / 24560 ti = "17/90160/24560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90160/24560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90160 ÷ 217
    90160 ÷ 131072     		x = 0.6878662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24560 ÷ 217
    24560 ÷ 131072     		y = 0.1873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6878662109375 × 2 - 1) × π
    0.375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18039822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1873779296875 × 2 - 1) × π
    0.625244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96426239883142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18039822} λ = 1.18039822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96426239883142))-π/2
    2×atan(7.12965181071128)-π/2
    2×1.43144607513282-π/2
    2.86289215026564-1.57079632675     		φ = 1.29209582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18039822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.631836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29209582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.031637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90160 KachelY 24560 1.18039822 1.29209582 67.631836 74.031637
    Oben rechts KachelX + 1 90161 KachelY 24560 1.18044615 1.29209582 67.634582 74.031637
    Unten links KachelX 90160 KachelY + 1 24561 1.18039822 1.29208264 67.631836 74.030882
    Unten rechts KachelX + 1 90161 KachelY + 1 24561 1.18044615 1.29208264 67.634582 74.030882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29209582-1.29208264) × R
    1.3179999999835e-05 × 6371000     		dl = 83.9697799989487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29209582-1.29208264) × R
    1.3179999999835e-05 × 6371000     		dr = 83.9697799989487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18039822-1.18044615) × cos(1.29209582) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.275106530565343 × 6371000     		do = 84.0070886397416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18039822-1.18044615) × cos(1.29208264) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.27511920197466 × 6371000     		du = 84.0109580070136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29209582)-sin(1.29208264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275106530565343-0.27511920197466)×R²
    abs(1.18044615-1.18039822)×1.26714093170999e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.26714093170999e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.26714093170999e-05×40589641000000     		ar = 7054.21920665055m²