Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90176 / 24639
↖ ↑ ↗
← N 73.971836°
E 67.675781°		 ← 84.31 m → N 73.971836°
E 67.678528°		 →
↑
84.29 m
↓
↑
84.29 m
↓
N 73.971078°
E 67.675781°		 ← 84.32 m →
7 107 m²		 N 73.971078°
E 67.678528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687992095947266 y=0.187984466552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687992095947266 × 217)
    floor (0.687992095947266 × 131072)
    floor (90176.5)     		tx = 90176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187984466552734 × 217)
    floor (0.187984466552734 × 131072)
    floor (24639.5)     		ty = 24639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90176 / 24639 ti = "17/90176/24639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90176/24639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90176 ÷ 217
    90176 ÷ 131072     		x = 0.68798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24639 ÷ 217
    24639 ÷ 131072     		y = 0.187980651855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68798828125 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18116521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187980651855469 × 2 - 1) × π
    0.624038696289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.96047538376144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18116521} λ = 1.18116521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96047538376144))-π/2
    2×atan(7.10270277227514)-π/2
    2×1.43092420949431-π/2
    2.86184841898861-1.57079632675     		φ = 1.29105209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18116521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29105209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.971836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90176 KachelY 24639 1.18116521 1.29105209 67.675781 73.971836
    Oben rechts KachelX + 1 90177 KachelY 24639 1.18121314 1.29105209 67.678528 73.971836
    Unten links KachelX 90176 KachelY + 1 24640 1.18116521 1.29103886 67.675781 73.971078
    Unten rechts KachelX + 1 90177 KachelY + 1 24640 1.18121314 1.29103886 67.678528 73.971078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29105209-1.29103886) × R
    1.32299999999752e-05 × 6371000     		dl = 84.288329999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29105209-1.29103886) × R
    1.32299999999752e-05 × 6371000     		dr = 84.288329999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18116521-1.18121314) × cos(1.29105209) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.276109836908732 × 6371000     		do = 84.313460301471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18116521-1.18121314) × cos(1.29103886) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.276122552582718 × 6371000     		du = 84.3173431854922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29105209)-sin(1.29103886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276109836908732-0.276122552582718)×R²
    abs(1.18121314-1.18116521)×1.27156739860856e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.27156739860856e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.27156739860856e-05×40589641000000     		ar = 7106.8044061991m²