Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 90176 / 8256
↖ ↑ ↗
← N 82.653843°
E 67.675781°		 ← 39.04 m → N 82.653843°
E 67.678528°		 →
↑
39.05 m
↓
↑
39.05 m
↓
N 82.653492°
E 67.675781°		 ← 39.05 m →
1 525 m²		 N 82.653492°
E 67.678528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 90176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687992095947266 y=0.0629920959472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687992095947266 × 217)
    floor (0.687992095947266 × 131072)
    floor (90176.5)     		tx = 90176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0629920959472656 × 217)
    floor (0.0629920959472656 × 131072)
    floor (8256.5)     		ty = 8256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 90176 / 8256 ti = "17/90176/8256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/90176/8256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 90176 ÷ 217
    90176 ÷ 131072     		x = 0.68798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8256 ÷ 217
    8256 ÷ 131072     		y = 0.06298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68798828125 × 2 - 1) × π
    0.3759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.18116521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06298828125 × 2 - 1) × π
    0.8740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.74582561023682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18116521} λ = 1.18116521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74582561023682))-π/2
    2×atan(15.5774695429108)-π/2
    2×1.50668901424791-π/2
    3.01337802849583-1.57079632675     		φ = 1.44258170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18116521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44258170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.653843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 90176 KachelY 8256 1.18116521 1.44258170 67.675781 82.653843
    Oben rechts KachelX + 1 90177 KachelY 8256 1.18121314 1.44258170 67.678528 82.653843
    Unten links KachelX 90176 KachelY + 1 8257 1.18116521 1.44257557 67.675781 82.653492
    Unten rechts KachelX + 1 90177 KachelY + 1 8257 1.18121314 1.44257557 67.678528 82.653492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44258170-1.44257557) × R
    6.1300000000486e-06 × 6371000     		dl = 39.0542300003096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44258170-1.44257557) × R
    6.1300000000486e-06 × 6371000     		dr = 39.0542300003096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18116521-1.18121314) × cos(1.44258170) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.127863628915862 × 6371000     		do = 39.0446972889382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18116521-1.18121314) × cos(1.44257557) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.12786970859694 × 6371000     		du = 39.0465537926939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44258170)-sin(1.44257557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127863628915862-0.12786970859694)×R²
    abs(1.18121314-1.18116521)×6.07968107779744e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.07968107779744e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.07968107779744e-06×40589641000000     		ar = 1524.89684027161m²